Bài toán tìm điểm kết hợp bài toán tương giao và tiếp tuyến

Bài toán tìm điểm kết hợp bài toán tương giao và tiếp tuyến

Phương pháp giải tìm điểm thuộc đồ thị hàm số

þ Bài toán 1: Tìm hai điểm $A\left( a;f\left( a \right) \right)$ và $B\left( b;f\left( b \right) \right)$ $\left( a\ne b \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)\,\,\left( C \right)$ sao cho tiếp tuyến tại $A$ và $B$ của $\left( C \right)$ song song với nhau và $A,B$ thỏa mãn điều kiện $K$.

Cách giải: Giải hệ phương trình ${f}'\left( a \right)={f}'\left( b \right)$ và điều kiện $K$.

þ Bài toán 2: Tìm hai điểm $A,B$ thuộc đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)\,\,\left( C \right)$ sao cho $AB\bot \Delta $ (hoặc $AB//\Delta $) và $A,B$ thỏa mãn điều kiện $K$.

Cách giải:

§ Dựa vào giả thiết $AB\bot \Delta $ hoặc $AB//\Delta $ ta viết phương trình đường thẳng $AB$ theo một tham số $m$ nào đó.

§ Viết phương trình hoành độ giao điểm của $AB$ và đồ thị $\left( C \right)$.

§ Dựa vào điều kiện $K$ để tìm giá trị của tham số $m$.

Bài tập điểm kết hợp bài toán tương giao và tiếp tuyến có đáp án

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}+8x+4\Rightarrow {y}'\left( -3 \right)=7$

PTTT tại điểm $A\left( -3;-2 \right)$ là: $y=7\left( x+3 \right)-2=7x+19$ (d)

Phương trình hoành độ tiếp điểm của đồ thị và tiếp tuyến $d$ là: ${{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+4x+1=7x+19$

$\Leftrightarrow {{\left( x+3 \right)}^{2}}\left( x-2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   x=-3\Rightarrow y=-2  \\   x=2\Rightarrow y=33  \\\end{array} \right..$ Vậy $B\left( 2;33 \right)$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-2x+1$, gọi $A\left( a;{{a}^{3}}-{{a}^{2}}+a+1 \right)$

Phương trình tiếp tuyến tại $A$ là: $y=\left( 3{{a}^{2}}-2a+1 \right)\left( x-a \right)+{{a}^{3}}-{{a}^{2}}+a+1$

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và tiếp tuyến là:

${{x}^{3}}-{{x}^{2}}+x+1=\left( 3{{a}^{2}}-2a+1 \right)\left( x-a \right)+{{a}^{3}}-{{a}^{2}}+a+1$

$\Leftrightarrow \left( x-a \right)\left( {{x}^{2}}+xa+{{a}^{2}} \right)-\left( x-a \right)\left( x+a \right)+\left( x-a \right)=\left( 3{{a}^{2}}-2a+1 \right)\left( x-a \right)$

$\Leftrightarrow \left( x-a \right)\left( {{x}^{2}}+xa+{{a}^{2}}-x-a+1-3{{a}^{2}}+2a-1 \right)=0$

$\Leftrightarrow \left( x-a \right)\left( {{x}^{2}}+xa-2{{a}^{2}}-x+a \right)=0$

$\Leftrightarrow {{\left( x-a \right)}^{2}}\left( x+2a-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   x=a\Rightarrow A  \\   x=-2a+1  \\\end{array} \right.$

Do ${{x}_{B}}=-1\Leftrightarrow -2a+1=-1\Leftrightarrow a=1\Rightarrow A\left( 1;2 \right)$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: $k={y}'=-3{{x}^{2}}+6x=-3{{\left( x-1 \right)}^{2}}+3\le 3$

Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ có hệ số góc lớn nhất là 3 khi hoành độ tiếp điểm là $x=1$

Khi đó $M\left( 1;4 \right)$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Gọi $A\left( a;2+\frac{4}{a-1} \right),B\left( b;2+\frac{4}{b-1} \right)\,\,\left( a,b\ne 1,a\ne b \right)$. Do tiếp tuyến tại $A,B$ song song với nhau nên ta có:

${y}'\left( a \right)={y}'\left( b \right)\Leftrightarrow \frac{4}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}=\frac{4}{{{\left( b-1 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   a-1=b-1\,\,\left( l \right)  \\   a-1=1-b  \\\end{array} \right.\Rightarrow a+b=2.$ 

Ta có: $A{{B}^{2}}={{\left( a-b \right)}^{2}}+\frac{16{{\left( a-b \right)}^{2}}}{{{\left[ \left( a-1 \right)\left( b-1 \right) \right]}^{2}}}={{\left( a-b \right)}^{2}}\left[ 1+\frac{9}{{{\left( ab-a-b+1 \right)}^{2}}} \right]={{\left( a-b \right)}^{2}}\left[ 1+\frac{16}{{{\left( ab-1 \right)}^{2}}} \right]$

$=\left[ {{\left( a+b \right)}^{2}}-4ab \right]\left[ 1+\frac{16}{{{\left( ab-1 \right)}^{2}}} \right]=4\left( 1-ab \right)\left[ 1+\frac{16}{{{\left( ab-1 \right)}^{2}}} \right].$ 

Đặt $t=1-ab$ ta có: $4t\left( 1+\frac{16}{{{t}^{2}}} \right)=32\Leftrightarrow t+\frac{16}{t}=8\Leftrightarrow t=4\Rightarrow ab=-3\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   a+b=2  \\   ab=-3  \\\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   a=-1\Rightarrow b=3  \\   a=3\Rightarrow b=4  \\\end{array} \right.$

Vậy $A\left( -1;0 \right),B\left( 3;4 \right)$ hoặc ngược lại suy ra $T=OA+OB=6$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Gọi $A\left( a;\frac{-a+2}{a-1} \right),B\left( b;\frac{-b+2}{b-1} \right)$. Do tiếp tuyến tại $A,B$ song song với nhau nên ta có:

${y}'\left( a \right)={y}'\left( b \right)\Leftrightarrow \frac{-1}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}=\frac{-1}{{{\left( b-1 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   a-1=b-1  \\   a-1=1-b  \\\end{array} \right.\Rightarrow a+b=2$

Mặt khác $\Delta OAB$ vuông tại $O$ nên: $\overline{OA}.\overline{OB}=ab+\frac{\left( 2-a \right)\left( 2-b \right)}{\left( a-1 \right)\left( b-1 \right)}=0$

$\Leftrightarrow ab+\frac{4-2\left( a+b \right)+ab}{ab-\left( a+b \right)+1}=0\Leftrightarrow ab+\frac{ab}{ab-1}=0\Leftrightarrow ab=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   a=0,b=2  \\   a=2,b=0  \\\end{array} \right.$ 

Vậy 2 điểm cần tìm là $A\left( 2;0 \right),B\left( 0;-2 \right)\Rightarrow AB=2\sqrt{2}$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Gọi $A\left( a;{{a}^{3}}-4a+3 \right),B\left( b;{{b}^{3}}-4b+3 \right)$ $\left( a\ne b \right)$.

Ta có: ${y}'\left( a \right)={y}'\left( b \right)\Leftrightarrow 3{{a}^{2}}=3{{b}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   a=b\,\left( l \right)  \\   a=-b  \\\end{array} \right.$ 

+) Ta có: \[\overline{AB}\left( b-a;{{b}^{3}}-{{a}^{3}}-4\left( b-a \right) \right)=\left( b-a;\left( b-a \right)\left( {{b}^{2}}+ba+{{a}^{2}}-4 \right) \right)\], $\overline{{{u}_{d}}}\left( -5;1 \right)$

Do đó chọn $\overline{{{u}_{AB}}}=\left( 1;{{b}^{2}}+ab+{{a}^{2}}-4 \right)\Rightarrow \overline{{{u}_{AB}}}\,.\,\overline{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow -5+{{b}^{2}}+ab+{{a}^{2}}-4=0\Leftrightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}-ab=9$

$\Leftrightarrow {{a}^{2}}=9\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   a=3,b=-3  \\   a=-3;b=3  \\\end{array} \right.$ 

Vậy $A\left( 3;18 \right),B\left( -3;-12 \right)$ hoặc ngược lại suy ra $AB=6\sqrt{26}$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Vì $M\in \left( C \right)\Rightarrow M\left( m;{{m}^{3}}-3m \right)$. Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}-3\xrightarrow{{}}{y}'\left( m \right)=3{{m}^{2}}-3.$

Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$ là $y-y\left( m \right)={y}'\left( m \right).\left( x-m \right)$

$\Leftrightarrow y-{{m}^{3}}+3m=\left( 3{{m}^{2}}-3 \right)\left( x-m \right)\Leftrightarrow y=\left( 3{{m}^{2}}-3 \right)\left( x-m \right)+{{m}^{3}}-3m$    (d).

Hoành độ giao điểm của $\left( d \right)$ và $\left( C \right)$ là nghiệm phương trình ${{x}^{3}}-3x=\left( 3{{m}^{2}}-3 \right)\left( x-m \right)+{{m}^{3}}-3m$ 

$\Leftrightarrow {{x}^{3}}-{{m}^{3}}-3\left( x-m \right)=\left( 3{{m}^{2}}-3 \right)\left( x-m \right)\Leftrightarrow \left( x-m \right)\left( {{x}^{2}}+mx+{{m}^{2}} \right)-3\left( x-m \right)=\left( 3{{m}^{2}}-3 \right)\left( x-m \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   x-m=0  \\   {{x}^{2}}+mx+{{m}^{2}}-3=3{{m}^{2}}-3  \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   x=m  \\   {{x}^{2}}+mx-2{{m}^{2}}  \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   x=m  \\   \left( x-m \right)\left( x+2m \right)=0  \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   x=m  \\   x=-2m  \\\end{array} \right..$ 

Suy ra $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   {{x}_{M}}=m  \\   {{x}_{N}}=-2m  \\\end{array} \right.\xrightarrow{{}}{{x}_{M}}+{{x}_{N}}=m-2m=-m=-3\Leftrightarrow m=3.$

Vậy ${{x}_{M}}=3$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Viết lại phương trình đường thẳng $d:y=-\frac{1}{5}x+\frac{11}{5}$

Vì $AB\bot \left( d \right)$ nên phương trình đường thẳng $AB$ có dạng: $y=5x+m$

Phương trình hoành độ giao điểm của $AB$ và $\left( C \right)$ là:

$\frac{2x+3}{x-1}=5x+m\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x\ne 1  \\   g\left( x \right)=5{{x}^{2}}+\left( m-7 \right)x-m-3=0  \\\end{array} \right.$ 

Để $AB$ cắt $\left( C \right)$ tại 2 điểm phân biệt $\Leftrightarrow g\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác

$I\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   g\left( 1 \right)\ne 0  \\   \Delta >0  \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   -5\ne 0  \\   {{\left( m-7 \right)}^{2}}+12\left( m+3 \right)>0  \\\end{array} \right.$ (*).

Khi đó gọi $A\left( {{x}_{1}};5{{x}_{1}}+m \right),B\left( {{x}_{2}};5{{x}_{2}}+m \right)$. Theo định lý Viet ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{7-m}{5}  \\   {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{-m-3}{5}  \\\end{array} \right.$

Trung điểm $I$ của $AB$: $I\left( \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2};\frac{5\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}{2}+m \right)$ hay $I\left( \frac{7-m}{10};\frac{m+7}{2} \right)\in \left( d \right)$

$\Rightarrow \frac{7-m}{10}+\frac{5m+35}{2}=11\Leftrightarrow m=-3$

Với $m=-3\,\,\left( tm \right)\Rightarrow A\left( 0;-3 \right),B\left( 2;7 \right)\Rightarrow {{y}_{A}}+{{y}_{B}}=4$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Do $AB//CD$ nên phương trình đường thẳng $AB:y=x+m$ $\left( m\ne 4 \right)$

PT hoành độ giao điểm của $AB$ và $\left( C \right)$ là: $\frac{x-1}{x+2}=x+m\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x\ne -2  \\   g\left( x \right)={{x}^{2}}+\left( m+1 \right)x+2m+1=0  \\\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   g\left( -2 \right)\ne 0  \\   \Delta >0  \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   3\ne 0  \\   {{m}^{2}}-6m-3>0  \\\end{array} \right.$

Khi đó gọi $A\left( {{x}_{1}};{{x}_{1}}+m \right),B\left( {{x}_{2}};{{x}_{2}}+m \right)$ ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-m-1  \\   {{x}_{1}}{{x}_{2}}=2m+1  \\\end{array} \right.$ 

Ta có: $A{{B}^{2}}=2{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}=2\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]=2\left( {{m}^{2}}-6m-3 \right)$, $AD=d\left( AB;CD \right)=\frac{\left| m+4 \right|}{\sqrt{2}}$

$A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}=A{{C}^{2}}=2{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}=2\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]=2\left( {{m}^{2}}-6m-3 \right)+\frac{{{m}^{2}}+8m+16}{2}$ 

$=\frac{5}{2}{{m}^{2}}-8m+2=\frac{25}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   m=-1  \\   m=\frac{21}{5}\,\left( loai \right)  \\\end{array} \right.$ 

Với $m=-1\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   {{x}_{1}}=1\Rightarrow A\left( 1;0 \right),B\left( -1;-2 \right)  \\   {{x}_{1}}=-1\Rightarrow A\left( -1;-2 \right),B\left( 1;0 \right)  \\\end{array} \right.$

Kết luận: Vậy 2 điểm thỏa mãn ycbt là: $\left( 1;0 \right),\left( -1;-2 \right)\Rightarrow AB=2\sqrt{2}$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Giao điểm của 2 đường tiệm cận là $I\left( -2;1 \right)$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

Hàm số đã cho là hàm đồng biến, có 2 trục đối xứng là 2 đường phân giác của các đường tiệm cận có phương trình là $y=x$ và $y=-x$.

Do tính chất đối xứng nên $AB\bot d:y=-x\Rightarrow AB:y=x+m$

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và $AB$ là:

$\frac{x-2}{x+2}=x+m\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x\ne -2  \\   g\left( x \right)={{x}^{2}}+\left( m+1 \right)x+2m+2=0  \\\end{array} \right.$

Điều kiện để $AB$ cắt $\left( C \right)$ tại 2 điểm phân biệt là: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   \Delta ={{\left( m+1 \right)}^{2}}-4\left( 2m+2 \right)>0  \\   g\left( -2 \right)\ne 0  \\\end{array} \right.$

Khi đó gọi là $A\left( {{x}_{1}};{{x}_{1}}+m \right);B\left( {{x}_{2}};{{x}_{2}}+m \right)$, theo Viet ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-m-1  \\   {{x}_{1}}{{x}_{2}}=2m+2  \\\end{array} \right.$

Tam giác $ABC$ luôn cân tại $I$ suy ra nó đều khi $IH=\frac{\sqrt{3}}{2}AB\Leftrightarrow d\left( I;AB \right)=\frac{\sqrt{3}}{2}AB$

$\Leftrightarrow \frac{\left| m-3 \right|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{2{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}}\Leftrightarrow {{\left( m-3 \right)}^{2}}=3\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]=3\left( {{m}^{2}}+2m+1-8m-8 \right)$

$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-6m=15\Rightarrow AB=\sqrt{2\left( {{m}^{2}}-6m-7 \right)}=4$. Chọn B.