Biến đổi chu kì con lắc đơn là gì

LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. PHƯƠNG PHÁP CHUNG:

Gọi T là chu kì chạy đúng và T’ là chu kì chạy sai.

(Chu kì càng lớn vật dao động càng chậm và ngược lại)

Trong thời gian T’ (s) đồng hồ chạy sai: $T'-T\left( s \right).$

Trong 1 s đồng hồ chạy sai: $\frac{T'-T}{T}\left( s \right).$

Quy ước: Giá trị dương (T’ > T) suy ra đồng hồ chạy chậm và giá trị âm (T’ < T) đồng hồ chạy nhanh.

Thời gian đồng hồ chạy nhanh, chậm trong một ngày đêm là $86400.\frac{T'-T}{T}=86400\frac{\Delta T}{T}.$

2. XÁC ĐỊNH THỜI GIAN ĐỒNG HỒ CHẠY SAI KHI 

a. CHIỀU DÀI THAY ĐỔI

Khi chiều dài dây theo con lắc $\ell $ thay đổi một lượng nhỏ $\left( \Delta l \right)$ thì ta có công thức $\frac{\Delta T}{T}=\frac{1}{2}\frac{\Delta \ell }{\ell }.$

Thật vậy, ta có $\left\{ \begin{array}{} T=2\pi \sqrt{\frac{\ell }{g}} \\ {} T'=2\pi \sqrt{\frac{\ell '}{g}} \\ \end{array} \right.\to \frac{T'}{T}=\sqrt{\frac{\ell '}{\ell }}=\sqrt{\frac{\ell +\Delta \ell }{\ell }}=\sqrt{1+\frac{\Delta \ell }{\ell }}={{\left( 1+\frac{\Delta \ell }{\ell } \right)}^{\frac{1}{2}}}.$

$\approx 1+\frac{1}{2}\frac{\Delta \ell }{\ell }\Leftrightarrow \frac{\Delta T}{T}=\frac{1}{2}\frac{\Delta \ell }{\ell }.$

Từ đó ta được $\frac{\Delta T}{T}=\frac{1}{2}\frac{\Delta \ell }{\ell }.$

+) Nếu tăng $\ell $ thì T tăng, f giảm suy ra con lắc chạy chậm đi.

+) Nếu giảm $\ell $ thì T giảm, suy ra con lắc chạy nhanh hơn.

+) Thời gian chạy nhanh, hay chậm trong 1 s là $\frac{\Delta T}{T}$, sau một ngày đêm là $86400.\frac{\Delta T}{T}.$

(Chú ý: Thời gian chạy nhanh chậm ta lấy độ lớn, dấu dương quy ước chậm, dấu âm quy ước nhanh).

b. GIA TỐC THAY ĐỔI LƯỢNG NHỎ

Khi gia tốc g thay đổi một lượng nhỏ $\left( \Delta g \right)$thì ta có công thức $\frac{\Delta T}{T}=\frac{1}{2}\frac{\Delta g}{g};$ với $\Delta g=g'-g.$

Thật vậy, ta có $\left\{ \begin{array}{} T=2\pi \sqrt{\frac{\ell }{g}} \\ {} T'=2\pi \sqrt{\frac{\ell }{g'}} \\ \end{array} \right.\to \frac{T'}{T}=\sqrt{\frac{g}{{{g}'}}}=\sqrt{\frac{g}{g+\Delta g}}={{\left( 1+\frac{\Delta g}{g} \right)}^{\frac{1}{2}}}\approx 1-\frac{1}{2}\frac{\Delta g}{g}\Leftrightarrow \frac{\Delta T}{T}=-\frac{1}{2}\frac{\Delta g}{g}.$

Từ đó ta được $\frac{\Delta T}{T}=-\frac{1}{2}\frac{\Delta g}{g}.$

+) Nếu tăng g thì T giảm, f tăng suy ra con lắc chạy nhanh.

+) Nếu giảm g thì T tăng, f giảm suy ra con lắc chạy chậm hơn.

+) Thời gian chạy nhanh, hay chậm trong 1 s là $\frac{\Delta T}{T},$ sau một ngày đêm là $86400.\frac{\Delta T}{T}$.

(Chú ý: Thời gian chạy nhanh chậm ta lấy độ lớn (thời gian con lắc chạy sai), dấu dương quy ước chậm, dấu âm quy ước nhanh).

Khi cả chiều dài và gia tốc thay đổi một lượng nhỏ 

Ta có $\left\{ \begin{array}{} T=2\pi \sqrt{\frac{\ell }{g}} \\ {} T'=2\pi \sqrt{\frac{\ell '}{g'}} \\ \end{array} \right.\to \frac{T'}{T}=\sqrt{\frac{\ell '}{\ell }}.\sqrt{\frac{g}{g'}}=\sqrt{\frac{\ell +\Delta \ell }{\ell }}.\sqrt{\frac{g}{g+\Delta g}}={{\left( 1+\frac{\Delta \ell }{\ell } \right)}^{\frac{1}{2}}}{{\left( 1+\frac{\Delta g}{g} \right)}^{-\frac{1}{2}}}$

$\approx \left( 1+\frac{1}{2}\frac{\Delta \ell }{\ell } \right)\left( 1-\frac{1}{2}\frac{\Delta g}{g} \right)=1+\frac{1}{2}\frac{\Delta \ell }{\ell }-\frac{1}{2}\frac{\Delta g}{g}--\frac{1}{4}\frac{\Delta \ell .\Delta g}{g\ell }\approx 1+\frac{1}{2}\frac{\Delta \ell }{\ell }-\frac{1}{2}\frac{\Delta g}{g}\to \frac{\Delta T}{T}=\frac{1}{2}\frac{\Delta \ell }{\ell }-\frac{1}{2}\frac{\Delta g}{g}.$

a.     NHIỆT ĐỘ THAY ĐỔI

Khi nhiệt độ thay đổi thì chiều dài con lắc cũng thay đổi theo do $\ell ={{\ell }_{0}}\left( 1+\lambda t \right)$.

Ta dễ dàng thiết lập được hệ thức phụ thuộc $\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}=1+\frac{1}{2}\lambda ({{t}_{2}}-{{t}_{1}})=1+\frac{1}{2}\lambda \Delta t\Leftrightarrow \frac{\Delta T}{{{T}_{1}}}=\frac{1}{2}\lambda \Delta t$

l Nếu ${{t}_{2}}>{{t}_{1}}\Leftrightarrow {{t}_{2}}-{{t}_{1}}>0\Rightarrow \frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}>1\Leftrightarrow {{T}_{2}}>{{T}_{1}}$, khi đó chu kỳ tăng nên con lắc đơn chạy chậm đi.

l Nếu ${{t}_{2}}<{{t}_{1}}\Leftrightarrow {{t}_{2}}-{{t}_{1}}<0\Rightarrow \frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}<1\Leftrightarrow {{T}_{2}}<{{T}_{1}}$, khi đó chu kỳ giảm nên con lắc đơn chạy nhanh hơn.

Thời gian chạy nhanh (hay chậm) của con lắc trong 1 (s) là $\tau =\frac{\Delta T}{{{T}_{1}}}=\frac{1}{2}\lambda \Delta t$, sau một ngày đêm là $86400.\frac{1}{2}\lambda \Delta t$.

a.     CON LẮC ĐƠN ẢNH HƯỞNG BỞI ĐỘ CAO VÀ ĐỘ SÂU:

Ở mực nước biển đồng hồ chạy đúng, khi đưa đồng hồ lên cao h thì đồng hồ chạy sai:

Ta có: $\left\{ \begin{array}{} \frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}=\sqrt{\frac{g}{{{g}_{h}}}} \\ {} {{g}_{h}}=g{{\left( \frac{R}{R+h} \right)}^{2}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}=1+\frac{h}{R}\Rightarrow \frac{\Delta T}{T}=\frac{h}{R}$.

Ta dễ dàng thiết lập được hệ thức phụ thuộc $\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}=1+\frac{h}{R}\Leftrightarrow \frac{\Delta T}{{{T}_{1}}}=\frac{h}{R}$.

Ở mực nước biển đồng hồ chạy đúng, khi đưa đồng hồ xuống độ sâu d thì đồng hồ chạy sai:

Ta có:  $\left\{ \begin{array}{} \frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}=\sqrt{\frac{g}{{{g}_{h}}}} \\ {} {{g}_{h}}=g\left( \frac{R-d}{R} \right) \\ \end{array} \right.\Rightarrow \frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}=\sqrt{\frac{R}{R-d}}=\sqrt{\frac{1}{1-\frac{d}{R}}}={{\left( 1-\frac{d}{R} \right)}^{\frac{-1}{2}}}$.

Khi $\frac{d}{R}\ll 1$ áp dụng công thức gần đúng ta có: $\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}=1+\frac{d}{2R}\Rightarrow \frac{\Delta T}{T}=\frac{d}{2R}$.

b.     CÔNG THỨC TỔNG QUÁT:

Khi các yếu tố chiều dài, gia tốc trọng trường, nhiệt độ và độ cao thay đổi ta có: