Biểu diễn hình học của số phức là gì? Công thức và cách dạng bài tập
Biểu diễn hình học của số phức là gì? Công thức và cách dạng bài tập
1)Định nghĩa về biểu diễn hình học của số phức
Mỗi số phức $z=x+yi$ được biểu diễn một điểm $M\left( x;y \right)$ khi đó $\overrightarrow{OM}=\left( x;y \right)$ trên mặt phẳng phức. Ta viết $M\left( x+yi \right)$ hoặc $M\left( z \right)$.
Khi đó $\left| z \right|=\left| \overrightarrow{OM} \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$
Nếu điểm $M\left( {{z}_{1}} \right)$ là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$ và điểm $N\left( {{z}_{2}} \right)$ là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$ thì ${{z}_{1}}-{{z}_{2}}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{NM},{{z}_{1}}+{{z}_{2}}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$.
2)Phương pháp giải toán
@ Bài toán 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $f\left( z;\overline{z} \right)=g\left( z;\overline{z} \right)$ hoặc $f\left( z;\overline{z} \right)$ là số thực, hoặc $f\left( z;\overline{z} \right)$ là số ảo
Phương pháp giải: Đặt $z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow \overline{z}=x-yi$ thế vào biểu thức ban đầu, biến đổi và kết luận.
Mối liên hệ giữa $x$ và $y$ | Kết luận tập hợp điểm $M\left( x;y \right)$ |
○ $Ax+By+C=0$ | Là đường thẳng $Ax+By+C=0$ |
○ $\left[ \begin{array} {} {{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}={{R}^{2}} \\ {} {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0 \\ \end{array} \right.$ | Là đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( a;b \right)$ và bán kính $R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c}$ |
○ $\left[ \begin{array} {} {{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}\le {{R}^{2}} \\ {} {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c\le 0 \\ \end{array} \right.$ | Là hình tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( a;b \right)$ và bán kính $R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c}$ (bao gồm đường tròn và các điểm bên trong). |
○ $R_{1}^{2}\le {{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}\le R_{2}^{2}$ | Là những điểm thuộc miền có hình vành khăn tạo bởi hai đường tròn đồng tâm $I\left( a;b \right)$ và bán kính lần lượt ${{R}_{1}}$ và ${{R}_{2}}$ |
○ $y=a{{x}^{2}}+bx+c$ | Là một parabol $\left( P \right)$ có đỉnh $I\left( -\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a} \right)$ |
○ $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$ với $\left\{ \begin{array} {} M{{F}_{1}}+M{{F}_{2}}=2a \\ {} {{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c<2a \\ \end{array} \right.$ | Là một elíp có trục lớn $2a$ trục bé $2b$ và tiêu cự là ${{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c=2\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}};\left( a>b>0 \right)$ |
Một số trường hợp đặc biệt:
þ Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-\left( a+bi \right) \right|=\left| z-\left( c+di \right) \right|$ |
Gọi $M\left( z \right);\,\,A\left( a;b \right);\,\,B\left( c;d \right)$ lần lượt là các điểm biểu diễn số phức $z;\,\,a+bi$ và $c+di$.
Khi đó $\left| z-\left( a+bi \right) \right|=\left| z-\left( c+di \right) \right|\Leftrightarrow MA=MB\Rightarrow $ Tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là trung trực của $AB$.
þ Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-\left( a+bi \right) \right|=R\left( R>0 \right)$ |
Gọi $M\left( z \right);\,\,I\left( a;b \right)$ lần lượt là các điểm biểu diễn số phức $z$ và $a+bi$
Khi đó $\left| z-\left( a+bi \right) \right|=R\Leftrightarrow MI=R\Rightarrow $ Tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $I\left( a;b \right)$ bán kính $R$.
þ Bài toán 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ biết $w={{z}_{1}}.z+{{z}_{2}}$ và số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-a-bi \right|=R$
Ta có: $z=\frac{w-{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}$ suy ra $\left| z-a-bi \right|=R\Leftrightarrow \left| \frac{w-{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}-a-bi \right|=R\Leftrightarrow \left| w-{{z}_{2}}-{{z}_{1}}\left( a+bi \right) \right|=R\left| {{z}_{1}} \right|$
Tập hợp điểm biểu diễn $w$ là đường tròn bán kính $R\left| {{z}_{1}} \right|$,
Tổng quát: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ biết $w={{z}_{1}}.z+{{z}_{2}}$ và số phức $z$ thỏa mãn $\left| z.{{z}_{0}}-a-bi \right|=R$ (thêm yếu tố ${{z}_{0}}$)
Ta có: $z=\frac{w-{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}$ suy ra $\left| z.{{z}_{0}}-a-bi \right|=R\Leftrightarrow \left| {{z}_{0}} \right|\left| \frac{w-{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}-\frac{a+bi}{{{z}_{0}}} \right|=R\Leftrightarrow \left| w-{{z}_{2}}-\frac{{{z}_{1}}\left( a+bi \right)}{{{z}_{0}}} \right|=\frac{R\left| {{z}_{1}} \right|}{\left| {{z}_{0}} \right|}$
Tập hợp điểm biểu diễn $w$ là đường tròn bán kính $\frac{R\left| {{z}_{1}} \right|}{\left| {{z}_{0}} \right|}$.
Lý thuyết Toán Lớp 12