Cách Chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng cách chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia.

Cách Chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng cách chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia.

Phương pháp giải:

– Muốn chứng minh đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b, ta đi tìm mặt  phẳng (β) chứa đường thẳng b sao cho việc chứng minh a $\bot $ (β) dễ thực hiện.

–  Sử dụng định lý ba đường vuông góc.

Bài tập về chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian có đáp án chi tiết

Lời giải chi tiết

Gọi M là trung điểm của AB

Tứ diện ABCD đều nên ∆ABD và ∆ABC là các tam giác đều suy ra $\left\{ \begin{array}  {} DM\bot AB \\  {} CM\bot AB \\ \end{array} \right.\Rightarrow AB\bot (MCD)$

Do đó $AB\bot CD$

Chứng minh tương tự ta cũng có $BC\bot AD,AC\bot BD$

Lời giải chi tiết

a) Đặt AB = 2a $\Rightarrow $ AD = CD = a

Do AB = 2CD $\Rightarrow $ AI = AD = CD = CI = a

Khi đó AICD là hình vuông cạnh a.

Do đó $CI\bot AB$

Mặt khác $\left\{ \begin{array}  {} AC\bot DI \\  {} DI\bot SA \\ \end{array} \right.\Rightarrow DI\bot (SAC)\Rightarrow DI\bot SC$

b) Do  $SA\bot (ABCD)\Rightarrow \Delta SAD,\Delta SAB$ vuông tại S.

Mặt khác $\left\{ \begin{array}  {} CD\bot AD \\  {} CD\bot SA \\ \end{array} \right.\Rightarrow CD\bot (SAD)\Rightarrow CD\bot SD$

nên ∆SDC vuông tại D.

Xét ∆ACD có trung tuyến $CI=\frac{AB}{2}\Rightarrow \Delta ACD$vuông tại C$\Rightarrow BC\bot AC$

Mặt khác $BC\bot SA\Rightarrow BC\bot (SAC)\Rightarrow BC\bot SC\Rightarrow \Delta SCB$vuông tại C.

Lời giải chi tiết

a) Do ∆ABC là tam giác đều và I là trung điểm của BC nên $AI\bot BC$

Mặt khác $AI\bot CC'\Rightarrow AI\bot (BCC'B')\Rightarrow AI\bot BC'$

b) Dễ thấy BCC’B’ là hình vuông nên $B'C\bot BC'$

Mặt khác MI là đường trung bình trong tam giác B’BC nên MI//B’C suy ra $MI\bot BC'$

Lại có: $AI\bot BC'\Rightarrow BC'\bot (AIM)\Rightarrow BC'\bot AM$

c) Ta có: $\tan \widehat{KMB'}=\frac{KB'}{MB'}=\frac{1}{2};\tan \widehat{AMB}=\frac{AB}{BM}=2$

Suy ra $\tan \widehat{KMB'}=\cot \widehat{AMB}\Rightarrow \widehat{KMB'}+\widehat{AMB}={{90}^{\circ }}$

Do đó $\widehat{AMK}={{90}^{\circ }}\Rightarrow AM\bot MK$

Mặt khác $\left\{ \begin{array}  {} AM\bot BC' \\  {} MJ//BC' \\ \end{array} \right.\Rightarrow AM\bot MJ$

Suy ra $AM\bot (MKJ)\Rightarrow AM\bot KJ$

Lời giải chi tiết

Gọi I, P lần lượt là trung điểm của AB và SA, O là giao điểm của AC và BD.

Ta có: $\left\{ \begin{array}  {} IN//AC \\  {} AC\bot BD \\ \end{array} \right.\Rightarrow BD\bot IN$ (1)

Mặt khác $\left\{ \begin{array}  {} IM//BE \\  {} BE\bot PO \\ \end{array} \right.\Rightarrow IM\bot PO$ (*)

Mà $PO\bot BD$ (**) (Do ∆BPD là tam giác cân tại P có đường trung tuyến PO).

Từ (*) và (**) ta có: $BD\bot IM$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $BD\bot (IMN)\Rightarrow BD\bot MN$