Cách giải dạng bài kích thích dao động bằng va chạm

DẠNG 1. KÍCH THÍCH DAO ĐỘNG BẰNG VA CHẠM

I.                    LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

a.     Va chạm mềm: 

Vật m chuyển động với vận tốc ${{v}_{o}}$ đến va chạm mềm với vật M đang đứng yên thì $m{{v}_{o}}=\left( m+M \right)V\Rightarrow V=\frac{m{{v}_{o}}}{m+M}$(vận tốc của hệ ở VTCB)

Nếu sau va chạm hệ hai vật dao động điều hòa thì$\left\{ \begin{array}{} \omega =\sqrt{\frac{k}{m+M}} \\ {} A=\frac{V}{\omega } \\ \end{array} \right.$

b.     Va chạm đàn hồi xuyên tâm: 

Vật m chuyển động với vận tốc ${{v}_{o}}$ đến va chạm đàn hồi xuyên tâm vào vật M đang đứng yên thì ngay sau va chạm vận tốc của vật m và M lần lượt là v và V:

$\left\{ \begin{array}{} m{{v}_{o}}=mv+MV \\ {} \frac{1}{2}mv_{o}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}+\frac{1}{2}M{{V}^{2}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} V=\frac{2m{{v}_{o}}}{m+M} \\ {} v=\frac{m-M}{m+M}{{v}_{o}} \\ \end{array} \right.$(V là vận tốc của M ở VTCB)

Nếu m = M thì sau va chạm 2 vật trao đổi vận tốc cho nhau

Nếu sau va chạm M dao động điều hòa thì $\left\{ \begin{array}{} \omega =\sqrt{\frac{k}{M}} \\ {} A=\frac{V}{\omega } \\ \end{array} \right.$

Chú ý: Nếu va chạm theo phương thẳng đứng thì tốc độ của m ngay trước va chạm:${{v}_{o}}=\sqrt{2gh}$

+) Nếu là va chạm đàn hồi thì VTCB không thay đổi. Ta có $\left\{ \begin{array}{} V=\frac{2m{{v}_{o}}}{m+M} \\ {} v=\frac{m-M}{m+M}{{v}_{o}} \\ \end{array} \right.$

với V là vận tốc của M ở VTCB $\Rightarrow A=\frac{V}{\omega }=\frac{V}{\sqrt{\frac{k}{M}}}$

+) Nếu là va chạm mềm thì VTCB mới thấp hơn VTCB cũ một đoạn ${{x}_{o}}=\frac{mg}{k}$và vận tốc của hệ sau va chạm: $V=\frac{m{{v}_{o}}}{m+M}$ (vận tốc của vật ở cách VTCB mới một đoạn ${{x}_{o}}$).

Biên độ sau va chạm: $A=\sqrt{x_{o}^{2}+\frac{{{V}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}}$ với $\omega =\sqrt{\frac{k}{M+m}}$

+) Nếu vật khối lượng m₁ và m₂ đều chuyển động trong mặt phẳng nằm ngang đến va chạm trực diện với nhau. Vận tốc ban đầu của các vật lần lượt là ${{\vec{v}}_{10}}$và ${{\vec{v}}_{20}}$, vận tốc ngay sau va chạm của các vật là ${{\vec{v}}_{1}}$và${{\vec{v}}_{2}}$. Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ 2 vật trước và ngay sau va chạm: ${{m}_{1}}{{\vec{v}}_{10}}+{{m}_{2}}{{\vec{v}}_{20}}={{m}_{1}}{{\vec{v}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\vec{v}}_{2}}$              (1)

Do va chạm hoàn toàn đàn hồi nên năng lượng được bảo toàn:

$\frac{1}{2}{{m}_{1}}v_{10}^{2}+\frac{1}{2}{{m}_{2}}v_{20}^{2}=\frac{1}{2}{{m}_{1}}v_{1}^{2}+\frac{1}{2}{{m}_{2}}v_{2}^{2}$              (2)

Vì các véc tơ có cùng phương nên ta chuyển phương trình véc tơ thành phương trình vô hướng ${{m}_{1}}{{v}_{10}}+{{m}_{2}}{{v}_{20}}={{m}_{1}}{{v}_{1}}+{{m}_{2}}{{v}_{2}}$và biến đổi phương trình này thành: ${{m}_{1}}\left( {{v}_{10}}-{{v}_{1}} \right)={{m}_{2}}\left( {{v}_{2}}-{{v}_{20}} \right)$ (1’)

Biến đổi (2) thành: ${{m}_{1}}\left( v_{10}^{2}-v_{1}^{2} \right)={{m}_{2}}\left( v_{2}^{2}-v_{20}^{2} \right)$ (2’)

Chia (2’) cho (1’) ta có:$\left( {{v}_{10}}+{{v}_{1}} \right)=\left( {{v}_{2}}+{{v}_{20}} \right)$

Nhân hai vế của phương trình này với m₁ ta có:  ${{m}_{1}}\left( {{v}_{10}}+{{v}_{1}} \right)={{m}_{1}}\left( {{v}_{2}}+{{v}_{20}} \right)$              (3)

Cộng (3) với (1’) ta tìm được vận tốc của vật thứ hai sau va chạm:

$$ (a)

Ta nhận thấy vai trò của hai quả cầu m₁ và m₂ hoàn toàn tương đương nhau nên trong công thức trên ta chỉ việc tráo các chỉ số 1 và 2 cho nhau thì ta tìm được vận tốc của quả cầu thứ nhất sau va chạm:

$$  (b)

I.                    BÀI TẬP MINH HỌA DẠNG 1

Lời giải chi tiết

Vận tốc hệ vật sau va chạm (va chạm mềm): $v=\frac{{{v}_{0}}m}{m+M}=1(m/s)$

Tần số góc lúc này:$\omega =\sqrt{\frac{k}{m+M}}=10(rad/s)\Rightarrow T=\frac{\pi }{5}(s)$

Biên độ của hệ sau va chạm:$A=\frac{v}{\omega }=0,1(m)=10(cm)$

Ta có $\frac{2013}{2}=1006$dư 1 nên ${{t}_{2013}}=1006T+{{t}_{1}}$; ở đây ${{t}_{1}}$ là thời điểm đầu tiên lò xo dãn 3cm kể từ khi dao động.

Vẽ đường tròn lượng giác ta có được

${{t}_{1}}=\frac{T}{2}+\frac{\arcsin \left( 3/10 \right)T}{2\pi }\Rightarrow {{t}_{2013}}=1006T+0,55T=632,43(s)\,(s).$Chọn C

Lời giải chi tiết

Vận tốc vật M sau va chạm (va chạm đàn hồi): $v=\frac{2{{v}_{o}}m}{m+M}=1\left( m/s \right)$

Tần số góc: $\omega =\sqrt{\frac{k}{M}}=10\left( rad/s \right)$

Biên độ của hệ sau va chạm: $A=\frac{v}{\omega }=10\left( cm \right)$. Chọn B

Lời giải chi tiết

Tốc độ con lắc đơn tại VTCB là: ${{v}_{o}}=\omega A$

Năng lượng con lắc đơn: $W=\frac{1}{2}mv_{0}^{2}$

Bảo toàn động lượng: $m{{v}_{o}}=\left( m+M \right)v\Leftrightarrow v=\frac{{{v}_{o}}}{2}$

Năng lượng của hệ vật là: ${W}'=\frac{1}{2}\left( m+m \right){{v}^{2}}=m.\frac{v_{0}^{2}}{4}\Rightarrow \frac{W}{{{W}'}}=2\Leftrightarrow {W}'=0,5W$. Chọn D

Lời giải chi tiết

Cơ năng của con lắc:$E={{E}_{d}}+{{E}_{t}}$, kết hợp với giả thuyết ${{E}_{t}}={{E}_{d}}\Rightarrow x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}A$

Tại vị trí này vật có tốc độ $v=\frac{\omega A}{2}$

Sau va chạm con lắc mới tiếp tục dao động điều hòa với tần số góc${\omega }'=\sqrt{\frac{k}{m+m}}=\frac{\omega }{\sqrt{2}}$

Sau quá trình va chạm động lượng theo phương nằm ngang của hệ được bảo toàn:

$mv=\left( m+m \right){{V}_{0}}\Rightarrow V=\frac{v}{2}=\frac{\omega A}{4}$

Biên độ dao động mới của con lắc:${A}'=\sqrt{{{\left( \frac{\sqrt{3}}{2}A \right)}^{2}}+\left( \frac{{{V}_{0}}}{{{\omega }'}} \right)}=\frac{\sqrt{14}}{4}A.$ Chọn B

Lời giải chi tiết

Tần số góc của dao động $\omega =\sqrt{\frac{k}{M+m}}=20\,rad/s$

Định luật bảo toàn động lượng cho bài toán va chạm mềm

$m{{v}_{0}}=\left( M+m \right){{V}_{0}}\Rightarrow {{V}_{0}}=\frac{m{{v}_{0}}}{M+m}=40cm/s$

Hệ hai vật này sẽ dao động với biên độ$A=\frac{{{V}_{0}}}{\omega }=2cm$

Lực đàn hồi cực đại tác dụng lên con lắc trong quá trình nó dao động

${{F}_{dh\max }}=kA=2N$

Tại t, vật đang ở biên âm (khi đó lực nén tại Q sẽ cực đại)

Thời điểm M bị bật ra khi vật đang có li độ dương và F_dh = 1N

Từ hình vẽ ta tính được góc quét $\varphi =\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6}=\frac{2\pi }{3}rad\Rightarrow t=\frac{\varphi }{\omega }=\frac{\pi }{30}s$. Chọn B

Lời giải chi tiết

Lúc đầu cả hai vật dao động với biên độ A = 4cm và $\omega =\sqrt{\frac{k}{m+{m}'}}=5\pi \,rad/s$

Đến VTCB hai vật tách nhau, m dao động điều hòa với${\omega }'=\sqrt{\frac{k}{m}}=10\pi \,rad/s$và ${A}'=\frac{\omega A}{{{\omega }'}}=2cm$

Vật m’ chuyển động thẳng đều với vận tốc${{v}_{\max }}=\omega A=20\pi cm/s$

Thời gian từ khi hai vật tách nhau đến khi hai vật chuyển động ngược chiều nhau lần đầu tiên là

$\frac{{{T}'}}{4}=0,05s$

Khoảng cách giữa hai vật là$d={{v}_{\max }}.\frac{{{T}'}}{4}-{A}'=20\pi .0,05-2=1,14cm$. Chọn C

Lời giải chi tiết

Chu kì lúc đầu của vật ${{m}_{1}}\,\,T=2\pi \sqrt{\frac{{{m}_{1}}}{k}}=0,2s$. Khi vật đi đến VTCB thì mất khoảng thời gian $t=\frac{T}{4}=0,05s$và quãng đường đi từ lúc đầu đến VTCB là S = A = 4 cm

Sau khi va chạm. Hệ vật dao động điều hòa với tần số góc${\omega }'=\sqrt{\frac{k}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}}=5\pi \,rad/s$

Vận tốc của hệ vật sau khi va chạm $v=\frac{wA{{m}_{1}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}=10p\,\,cm/s$

Biên độ của hệ vật là $A=\frac{v}{{{w}'}}=2cm$. Chu kì của hệ vật ${T}'=0,4s$

Trong 1,95s [tách $t=1,95(s)=4T+\frac{T}{2}+\frac{T}{4}+\frac{T}{8}$] tiếp theo vật m₁ đi được quãng đường là  ${S}'=\frac{40-\sqrt{2}}{2}{A}'=38,58cm$

Quãng đường vật m₁ đi được sau 2s kể từ khi buông m₁ là $S+{S}'=42,58cm$. Chọn B

Lời giải chi tiết

Sử dụng mối quan hệ x, v bất định với thời gian cho vật m₁, được hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{} 2,{{5}^{2}}+\frac{{{\left( 25\sqrt{3} \right)}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}} \\ {} {{\left( 2,5\sqrt{3} \right)}^{2}}+\frac{{{25}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} \omega =10\frac{rad}{s} \\ {} A=5cm \\ \end{array} \right.$

Va chạm tại vtcb nên ngay trước khi va chạm m₁ có vận tốc$=A\omega =50cm/s=0,5m/s$

Chọn chiều dương là chiều của ${{\vec{v}}_{20}}$. Vận tốc sau khi va chạm của 2 vật lần lượt là :

${{v}_{1}}=\frac{2{{m}_{2}}{{v}_{20}}-\left( {{m}_{2}}-{{m}_{1}} \right){{v}_{10}}}{{{m}_{2}}+{{m}_{1}}}=\frac{2.m.1-\left( m-m \right).\left( -0,5 \right)}{m+m}=1m/s$

${{v}_{2}}=\frac{2{{m}_{1}}{{v}_{01}}-\left( {{m}_{1}}-{{m}_{2}} \right){{v}_{20}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}=\frac{2.m\left( -0,5 \right)-\left( m-m \right).1}{m+m}=-0,5m/s$

Hai vật va chạm tại vị trí cân bằng. Sau va chạm vật 2 bật ngược lại và chuyển động đều với vận tốc 0,5 m/s

Vật 1 dao động điều hòa với vận tốc cực đại là v₁ = 1m/s, với biên độ ${A}'=\frac{{{v}_{1}}}{\omega }=\frac{1}{10}=0,1m$

Tốc độ của m₁ bằng$\sqrt{3}$ lần tốc độ của ${{m}_{2}}=0,5\sqrt{3}$m/s tại vị trí$x=\pm \frac{{{A}'}}{2}$

Thời gian từ lúc va chạm đến lần đầu tiên $x=\pm \frac{{{A}'}}{2}$là: $\frac{T}{12}=\frac{2\pi }{12\omega }=\frac{2\pi }{12.10}=\frac{\pi }{60}s$

Quãng đường vật 2 đi được trong khoảng thời gian đó là:$S=0,5.\frac{\pi }{60}=\frac{\pi }{120}m$

Khoảng cách giữa hai vật lúc này là:$\Delta x=S+{A}'/2=\pi /120+0,1/2=0,076m=7,6cm$. Chọn B

Lời giải chi tiết

Vận tốc hệ vật sau va chạm (va chạm mềm):$v=\frac{{{v}_{2}}{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}=2(m/s)$

Ban đầu: $\Delta {{\ell }_{0}}=\frac{{{m}_{1}}g}{k}=5(cm)$

Sau va chạm: $\Delta {{\ell }_{0}}=\frac{\left( {{m}_{1}}+{{m}_{2}} \right)g}{k}=7,5(cm)$

Vậy vị trí cân bằng mới bị dịch xuống 1 đoạn 2,5cm _ lúc bắt đầu va chạm vật có li độ 

x = 12,5 – 2,5 = 10 (cm)

Tần số góc lúc này: $\omega =\sqrt{\frac{k}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}}=\frac{20\sqrt{3}}{3}\left( rad/s \right)$

Biên độ của hệ sau va chạm: $A=\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}}=20\left( cm \right)$. Chọn A

Lời giải chi tiết

Tốc độ của m ngay trước va chạm:

${{v}_{o}}=\sqrt{2gh}=\sqrt{2.10.0,45}=3m/s$

Tốc độ của M ngay sau va chạm: $V=\frac{2m{{v}_{o}}}{m+M}=\frac{2.0,1.3}{0,1+0,2}=2m/s$

Biên độ $A=\frac{V}{\omega }=V\sqrt{\frac{M}{k}}=2\sqrt{\frac{0,2}{20}}=0,2m$

Muốn M_d không bị nhấc lên thì lực kéo cực đại của lò xo 

(khi vật ở vị trí cao nhất lò xo dãn cực đại $A-\Delta {{\ell }_{o}}$) không lớn hơn trọng lượng của M_d:

${{F}_{\max }}=k\left( A-\Delta {{\ell }_{o}} \right)=kA-Mg\le {{M}_{d}}g\Rightarrow {{M}_{d}}\ge \frac{kA}{g}-M=0,2kg$. Chọn B