Cách Lập phương trình đường thẳng d’ qua A cắt d và vuông góc với delta (hoặc song song với (P))

Cách Lập phương trình đường thẳng d’ qua A cắt d và vuông góc với ∆ (hoặc song song với (P))

Phương pháp giải viết phương trình đường thẳng d’ qua A

Giả sử d’ cắt d tại điểm B, gọi tọa độ điểm $B\in d$theo tham số, ta có $\overrightarrow{AB}\bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=0\Rightarrow $tọa độ điểm B, phương trình đường thẳng cần tìm là AB.

Chú ý: Trong trường hợp d’//(P) ta có $\overrightarrow{AB}\bot \overrightarrow{{{n}_{(P)}}}\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=0$

Bài tập lập phương trình đường thẳng trong hệ trục tọa độ OXYZ có đáp án chi tiết

Lời giải chi tiết

Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=(2;1;-1)$. Gọi $H(1+2t;-1+t;-t)\in \Delta $là giao điểm của d và ∆

Suy ra $\overrightarrow{MH}=(2t-1;t-2;-t)$, do $\overrightarrow{MH}\bot \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\Rightarrow \overrightarrow{MH}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=0$

$\Leftrightarrow 2(2t-1)+(t-2)-(-t)=0\Leftrightarrow t=\frac{2}{3}\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\frac{1}{3}(1;-4;-2)$

Do đó $d\equiv MH:\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-4}=\frac{z}{2}$.

Lời giải chi tiết

Gọi $H(2+2t;1+t;3+2t)\in d\Rightarrow \overrightarrow{AH}=(1+2t;t-1;4+2t)$

Ta có: $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=4t+2+t-1+4t+8=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow H(0;0;1)\Rightarrow AH:\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{-2}$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Gọi $\Delta $ là đường thẳng cần tìm, ta có $B=\Delta \cap Ox\Rightarrow B(x;0;0)$

Khi đó $\overrightarrow{AB}=(x-1;-2;-3),\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(2;1;-2)$

Do $\Delta \bot d\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=2(x-1)-2+6=0\Leftrightarrow x=-1\Rightarrow B(-1;0;0)\Rightarrow \overrightarrow{AB}(-2;-2;-3)$

Vậy $\Delta :\left\{ \begin{array}  {} x=-1+2t \\  {} y=2t \\  {} z=3t \\ \end{array} \right.$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Gọi $H(1+t;t;-1+2t)\in d$là hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d

Ta có : $\overrightarrow{AH}=(t;t;2t-3)$suy ra $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=t+t+4t-6=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow H(2;1;1);\overrightarrow{AH}=(1;1;-1)$

Suy ra $\Delta \equiv AH:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-1}$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Giả sử d cắt và vuông góc với $\Delta $ tại $H(1+2t;-1+t;-t)\in \Delta $

Khi đó: $\overrightarrow{MH}=(2t-1;t-2;-t)$, do $\overrightarrow{MH}\bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow{MH}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=2(2t-1)+t-2+t=0$

$\Leftrightarrow 6t=4\Leftrightarrow t=\frac{2}{3}\Rightarrow \overrightarrow{MH}=\left( \frac{1}{3};-\frac{4}{3};-\frac{2}{3} \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{MH}}}=(1;-4;-2)$

Vậy $d:\left\{ \begin{array}  {} x=2+t \\  {} y=1-4t \\  {} z=-2t \\ \end{array} \right.$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Giả sử đường thẳng cắt trục Oz tại B(0;0;a). Ta có $\overrightarrow{AB}=(-1;-2;a-3)$

Mà d song song với (P) $\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{n}_{P}}}=0\Leftrightarrow 2.(-1)+1.(-2)-4(a-3)=0\Leftrightarrow a=2\Rightarrow B(0;0;2)$

Khi đó $\overrightarrow{AB}=(-1;-2;-1)\Rightarrow AB:\left\{ \begin{array}  {} x=t \\  {} y=2t \\  {} z=2+t \\ \end{array} \right.$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Gọi (P) là mặt phẳng qua $A(1;2;3)$và vuông góc với ${{d}_{1}}\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{P}}}=(2;-1;1)\Rightarrow (P):2x-y+z-3=0$

Khi đó gọi $B=(P)\cap {{d}_{2}}$. Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ PT sau:

$\left\{ \begin{array}  {} 2x-y+z-3=0 \\  {} \frac{x-1}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{1} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x=2 \\  {} y=-1\Rightarrow B(2;-1;-2) \\  {} z=-2 \\ \end{array} \right.$

Đường thẳng cần lập chính là đường thẳng AB: qua $A(1;2;3)$và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{AB}}}=(1;-3;-5)$

$\Delta \equiv AB:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z-3}{-5}$là đường thẳng cần tìm. Chọn D.

Chú ý: Đối với bài toán viết phương trình đường thằng $\Delta $ nằm trong mặt phẳng (P), đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d ta làm như sau :

n Bước 1: Tìm giao điểm A của d và mặt phẳng (P)

n Bước 2: Do $\left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{n}_{(P)}}} \\  {} \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]$, dường thẳng cần tìm đi qua A và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}$ 

Lời giải chi tiết

Gọi $M=(\Delta )\cap (d)\Rightarrow M\in d\Rightarrow M(2t-1;t;3t-2)$

Mà $M\in (P)\Leftrightarrow 2t-1+2t+3t-2-4=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow M(1;1;1)$

Ta có $\left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{n}_{(P)}}} \\  {} \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=(5;-1;-3)\Rightarrow $phương trình $\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{-3}$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Gọi $M=(\Delta )\cap (d)\Rightarrow M\in d\Rightarrow M(-1+2t;-t;-2+2t)$

Mà $M\in (P)\Leftrightarrow (-1+2t)+(-t)-(-2+2t)+1=0\Rightarrow t=2\Rightarrow M(3;-2;2)$

Ta có $\left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{n}_{(P)}}} \\  {} \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=(-1;4;3)\Rightarrow $phương trình $\Delta :\left\{ \begin{array}  {} x=3+t \\  {} y=-2-4t \\  {} z=2-3t \\ \end{array} \right.$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Gọi d’ là đường thẳng cần tìm, gọi $A=d\cap (\alpha )\Rightarrow A\in d'$

Ta có $d:\left\{ \begin{array}  {} x=1+t \\  {} y=2+2t \\  {} z=3+t \\ \end{array} \right.(t\in \mathbb{R})\Rightarrow A(t+1;2t+2;t+3)$

Mà $A\in (\alpha )\Rightarrow (t+1)+(2t+2)-(t+3)-2=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow A(2;4;4)$

Lại có $\left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{{{u}_{d}}}=(1;2;1) \\  {} \overrightarrow{{{n}_{(\alpha )}}}=(1;1;-1) \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{(\alpha )}}} \right]=(-3;2;-1)$là một VTCP của d’

Kết hợp với d’ qua $\Rightarrow A\left( 2;4;4 \right)\Rightarrow d:\frac{x-2}{-3}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-4}{-1}\Leftrightarrow \frac{x-5}{3}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-5}{1}$. Chọn A.