Cách viết phương trình đường thẳng trong không gian oxyz từ A-Z đủ dạng

Cách viết phương trình đường thẳng trong không gian oxyz từ A-Z đủ dạng

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của $\overrightarrow{u}$ song song hoặc trùng với d.

Chú ý: Nếu $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì $k.\overrightarrow{u}\,\,(k\in \mathbb{R};k\ne 0)$ cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

2. Phương trình tham số và phương trình chính tắt của đường thẳng

Đường thẳng đi qua điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(a;b;c)$ có:

+ Phương trình tham số : $\left\{ \begin{array}  {} x={{x}_{0}}+at \\  {} y={{y}_{0}}+bt \\  {} z={{z}_{0}}+ct \\ \end{array} \right.\,\,\,(t\in \mathbb{R}).$

(Với mỗi giá trị t cho ta các giá trị tương ứng $x,\,\,y,\,\,z$ tương ứng là tọa độ của một điểm M thuộc đường thẳng).

+) Phương trình chính tắc là: $\frac{x-{{x}_{0}}}{a}=\frac{y-{{y}_{0}}}{b}=\frac{z-{{z}_{0}}}{c}$ với điều kiện abc ≠ 0.

3. Xác định vecto chỉ phương

Cho 2 mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình là $\text{Ax}+By+Cz+D=0$ và

$\text{A }\!\!'\!\!\text{ x}+B'y+C'z+D'=0$ với điều kiện $A:B:C\ne A':B':C'$

Điều kiện trên chứng tỏ hai mặt phẳng đó cắt nhau. Gọi d là đường thẳng giao tuyến của chúng.

Đường thẳng d gồm những điểm M (x;y;z) vừa thuộc mặt phẳng (P) vừa thuộc mặt phẳng (Q) nên tọa độ điểm M  là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}  {} Ax+By+Cz+D=0 \\  {} A'x+B'y+C'z+D'=0 \\ \end{array} \right..$

Khi đó $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{(P)}}},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]$ với $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(A;B;C);\,\,\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=(A';B';C')$ là một vectơ chỉ phương của đường

thẳng d.

4. Một số cách xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng hay gặp:

• (d) đi qua điểm A và song song với đường thẳng (∆) thì ta chọn cho ${{\overrightarrow{u}}_{d}}={{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}$

• (d) đi qua điểm A và vuông góc với hai đường thẳng (d₁), (d₂) thì$\left\{ \begin{array}  {} {{\overrightarrow{u}}_{d}}\bot {{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}} \\  {} {{\overrightarrow{u}}_{d}}\bot {{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{2}}}} \\ \end{array} \right.\to {{\overrightarrow{u}}_{d}}=\left[ {{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}},{{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{2}}}} \right]$

• (d) đi qua điểm A và song song với hai mặt phẳng (α), (β) thì $\left\{ \begin{array}  {} {{\overrightarrow{u}}_{d}}\bot \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \\  {} {{\overrightarrow{u}}_{d}}\bot \overrightarrow{{{n}_{\beta }}} \\ \end{array} \right.\xrightarrow{{}}{{\overrightarrow{u}}_{d}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}},\overrightarrow{{{n}_{\beta }}} \right]$

• (d) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng (∆); song song với mặt phẳng (P) thì

$\left\{ \begin{array}  {} {{\overrightarrow{u}}_{d}}\bot {{\overrightarrow{u}}_{\Delta }} \\  {} {{\overrightarrow{u}}_{d}}\bot {{\overrightarrow{n}}_{P}} \\ \end{array} \right.\to {{\overrightarrow{u}}_{d}}=\left[ {{\overrightarrow{u}}_{\Delta }},{{\overrightarrow{n}}_{P}} \right]$