Cách xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc 3 chứa tham số m

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc 3 chứa tham số m trên R

Phương pháp giải bài toán đồng biến nghịch biến của hàm bậc 3 chứa tham số m

Xét tam thức bậc 2: $y=a{{x}^{2}}+bx+c\left( a\ne 0 \right)$ ta đã biết ở lớp 10

$y\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow a{{x}^{2}}+bx+c\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a>0 \\  {} \textΔ\le 0 \\ \end{array} \right.$.

$y\le 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow a{{x}^{2}}+bx+c\le 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a<0 \\  {} \textΔ\le 0 \\ \end{array} \right.$.

þ Xét bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số $y=a{{x}^{2}}+bx+c\left( a\ne 0 \right)$ đồng biến hoặc nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Ta có:

- Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}'\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow 3a{{x}^{2}}+2bx+c\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 3a>0 \\  {} {{{{\Delta }'}}_{{{y}'}}}\le 0 \\ \end{array} \right.$.

- Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}'\le 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow 3a{{x}^{2}}+2bx+c\le 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 3a<0 \\  {} {{{{\Delta }'}}_{{{y}'}}}\le 0 \\ \end{array} \right.$.

Chú ý:

§ Trong trường hợp hệ số a có chứa tham số m ví dụ: $y=\left( m-1 \right){{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+2x-3$ ta cần xét $a=0$ trước.

§ Số giá trị nguyên trên đoạn $\left[ a;b \right]$ bằng $b-a+1$.

Bài tập xét tính đơn điệu của hàm số bậc 3 có chứa tham số m đáp án chi tiết

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'=6{{x}^{2}}-6mx+6m$.

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}'\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=6>0 \\  {} \text{Δ'}=9{{m}^{2}}-36m\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 0\le m\le 4$.

Kết hợp $m\in \mathbb{R}$ Þ có 5 giá trị của m thỏa mãn đề bài. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'=-3{{x}^{2}}-2mx+4m+9$.

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty  \right)$ $\Leftrightarrow {y}'\le 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$.$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{a}_{{{y}'}}}=-3<0 \\  {} {{{\text{Δ'}}}_{{{y}'}}}={{m}^{2}}+3\left( 4m+9 \right)\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -9\le m\le -3$.

Kết hợp $m\in \mathbb{R}$ Þ có 7 giá trị của m thỏa mãn đề bài. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'={{x}^{2}}+4x+m+3$.

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}'\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=1>0 \\  {} {{{\text{Δ'}}}_{{{y}'}}}=4-\left( m+3 \right)<0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m\ge 1$.

Kết hợp $\left\{ \begin{array}  {} m\in \mathbb{R} \\  {} m\in \left[ -20;20 \right] \\ \end{array} \right.$ Þ có 20 giá trị của m thỏa mãn đề bài. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'=-6{{x}^{2}}-12\left( m+3 \right)x+24m=6\left[ -{{x}^{2}}-2\left( m+3 \right)+4m \right]$.

Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}'\le 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=-1<0 \\  {} \text{Δ'}={{\left( m+3 \right)}^{2}}+4m\le 0 \\ \end{array} \right.$.

$\Leftrightarrow {{m}^{2}}+10m+9\le 0\Leftrightarrow -9\le m\le -1$

Kết hợp $m\in \mathbb{Z}$ Þ có 9 giá trị của tham số m thỏa mãn đề bài. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'=-{{x}^{2}}+4mx+2m+12$.

Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}'\le 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=-1<0 \\  {} \text{Δ'}=4{{m}^{2}}-2m-12\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -\frac{3}{2}\le m\le 2$.

Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -1;0;1;2 \right\}$ Þ Tổng các phần tử của tập hợp S là 2. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-6\left( m-2 \right)x+12$.

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}'\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=3>0 \\  {} {{{\text{Δ'}}}_{{{y}'}}}=9{{\left( m-2 \right)}^{2}}-36\le 0 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow 0\le m\le 4$.

Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 0;1;2;3;4 \right\}$ Þ Tổng các phần tử của tập hợp S là 10. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'={{x}^{2}}+2mx+4$.

.Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}'\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=1>0 \\  {} {{{\text{Δ'}}}_{{{y}'}}}={{m}^{2}}-4\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -2\le m\le 2$.

Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -2;-1;0;1;2 \right\}$ Þ Số phần tử của tập hợp S là 5. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Với $m=-2$ ta có $y=-10x+3$ (hàm số này luôn nghịch  biến trên $\mathbb{R}$).

Với $m\ne -2$ ta có ${y}'=\left( m+2 \right){{x}^{2}}-2\left( m+2 \right)x+m-8$.

Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}'\le 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m+2<0 \\  {} {{{\text{Δ'}}}_{{{y}'}}}={{\left( m+2 \right)}^{2}}-\left( m+2 \right)\left( m-8 \right)\le 0 \\ \end{array} \right.$.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m<-2 \\  {} \left( m+2 \right)\left( 9-m \right)\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m<-2$

Kết hợp cả hai trường hợp.  Chọn D.

Lời giải chi tiết

Với $m=1\Rightarrow y=-x+4$ hàm số nghịch  biến trên $\left( -\infty ;+\infty  \right)$.

Với $m=-1\Rightarrow y=-2{{x}^{2}}-x+4$ không thỏa mãn nghịch biến trên $\left( -\infty ;+\infty  \right)$.

Với $m\ne \pm 1\Rightarrow {y}'=3\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x-1$ nghịch biến trên $\left( -\infty ;+\infty  \right)$

$\Leftrightarrow {y}'\le 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \left( {{m}^{2}}-1 \right)<0 \\  {} {{{\text{Δ'}}}_{{{y}'}}}={{\left( m-1 \right)}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)\le 0 \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} -1<m<1 \\  {} 2\left( m-1 \right)\left( 2m+1 \right)\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -\frac{1}{2}\le m\le 1$

Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=0,\text{ }m=1$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Xét hàm số $y=\frac{m}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+\left( m+3 \right)x+m$ với $x\in \mathbb{R}$, ta có ${y}'=m{{x}^{2}}-4x+m+3$.

Để hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}'\ge 0;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=m>0 \\  {} {{{\text{Δ'}}}_{{{y}'}}}\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m>0 \\  {} 4-m\left( m+3 \right)\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m\ge 1$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của m là 1. Chọn A.