Hướng dẫn viết phương trình dao động điều hòa

LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Phương pháp giải:

Chọn hệ quy chiếu:

- Trục Ox ............                                                                     - Gốc tọa độ tại VTCB

- Chiều dương .................                                                   - Gốc thời gian ..............

Phương trình chuẩn: $\left\{ \begin{array}{} x=Ac\text{os}\left( \omega t+\varphi  \right) \\ {} v=-\omega A\sin \left( \omega t+\varphi  \right) \\ {} a=-{{\omega }^{2}}x \\ {} F=ma=-m.{{\omega }^{2}}x \\\end{array} \right.$

Bước 1: Tìm tần số góc $\omega $

$\omega =2\pi f=\frac{2\pi }{T}=2\pi \frac{N}{\Delta t}=\frac{v}{\sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}}=\sqrt{\frac{a}{x}}=\sqrt{\frac{\left| {{a}_{m\text{ax}}} \right|}{A}}=\frac{\left| {{v}_{\max }} \right|}{A}=\sqrt{\frac{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}}=\sqrt{\frac{a_{1}^{2}-a_{2}^{2}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}}$

Bước 2: Tìm biên độ. 

Ta có: $A=\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{1}}}}=\sqrt{{{\left( \frac{v}{\omega } \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{{{\omega }^{2}}} \right)}^{2}}}=\sqrt{\frac{v_{1}^{2}x_{2}^{2}-v_{2}^{2}x_{1}^{2}}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}}$

Bước 3: Tìm pha ban đầu ${{\varphi }_{0}}$ (thường ta lấy $-\pi <{{\varphi }_{0}}<\pi $). Dựa vào điều kiện ban đầu.

Tại thời điểm $t=0$ta có: $\left\{ \begin{array}{} \cos \varphi =\frac{{{x}_{0}}}{A} \\ {} \sin \varphi =\frac{{{v}_{0}}}{-\omega A} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \varphi .$

Tại thời điểm $t=0$ta có: $\left\{ \begin{array}{} {{v}_{0}}=-\omega A\sin \varphi  \\ {} {{a}_{0}}=-{{\omega }^{2}}A\cos \varphi  \\ \end{array} \right.\Rightarrow \varphi .$

Tại thời điểm $t={{t}_{1}}$ ta có: $\left\{ \begin{array}{} {{x}_{1}}=A\cos \left( \omega {{t}_{1}}+\varphi  \right) \\ {} {{v}_{1}}=-\omega A\sin \left( \omega {{t}_{1}}+\varphi  \right) \\ \end{array} \right.\Rightarrow \varphi .$

Tại thời điểm $t={{t}_{1}}$ ta có: $\left\{ \begin{array}{} {{v}_{1}}=-\omega A\sin \left( \omega {{t}_{1}}+\varphi  \right) \\ {} {{a}_{1}}=-{{\omega }^{2}}A\cos \left( \omega {{t}_{1}}+\varphi  \right) \\ \end{array} \right.\Rightarrow \varphi .$

BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

Lời giải

Phương trình dao động của vật là $x=2\cos \left( 5t+\frac{\pi }{2} \right)$. Chọn B.

Lời giải

Ta có: $\omega =\frac{2\pi }{T}=\pi (rad/s)$

Phương trình dao động của vật có dạng: $x=5\cos \left( \pi t+\varphi  \right)$cm

Tại $t=0$ta có: $\left\{ \begin{array}{} x=5\cos \varphi =0 \\ {} v=-5\pi \sin \varphi >0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \varphi =-\frac{\pi }{2}.$ Chọn C.

Lời giải

Ta có: $\omega =\frac{2\pi }{T}=\pi \text{ }rad/s.$

Phương trình dao động của vật có dạng $x=5\cos \left( 2\pi t+\varphi  \right)$.

Tại thời điểm $t=0$ ta có: $\left\{ \begin{array}{} c\text{os}\varphi =0 \\ {} -\sin \varphi >0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \varphi =-\frac{\pi }{2}.$ Chọn A.

Lời giải

Chu kì dao động là $T=\frac{31,4}{100}=\frac{\pi }{10}(s)\Rightarrow \omega =\frac{2\pi }{T}=20\text{ }(rad/s).$

Ta có: $A=\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}}=\sqrt{4+{{\left( \frac{40\sqrt{3}}{20} \right)}^{2}}}=4\text{ }(cm).$

Phương trình dao động của vật có dạng: $x=4\cos \left( 20t+\varphi  \right)(cm).$

Tại thời điểm $t=0$ ta có: $\left\{ \begin{array}{} c\text{os}\varphi =\frac{1}{2} \\ {} -\sin \varphi =-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \varphi =\frac{\pi }{3}.$ Chọn D.

Lời giải

Ta có: $\omega =\frac{2\pi }{T}=\pi \text{ }(rad/s).$ Lại có hệ thức độc lập với thời gian ${{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}$

Suy ra $A=\sqrt{{{5}^{2}}+{{12}^{2}}}=13\text{ }(cm)$. PT của vật $x=13\cos \left( \pi t+\varphi  \right)$.

Tại $t=0$ ta có: $\left\{ \begin{array}{} x=13\cos \varphi =0 \\ {} v=-13\pi \sin \varphi <0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \varphi =\frac{\pi }{2}\Rightarrow $PTDĐ $x=13\cos \left( \pi t+\frac{\pi }{2} \right)(cm).$ Chọn D.

Lời giải

Ta có: $\left\{ \begin{array}{} \left| x \right|=4 \\ {} v=-20\pi \sqrt{3} \\ {} a=-100{{\pi }^{2}}=-{{\omega }^{2}}x \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} x=4\text{ cm} \\ {} \omega =5\pi  \\ {} v=-20\pi \sqrt{3} \\ \end{array} \right.\Rightarrow A=\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}}=8\left( cm \right).$

Giả sử phương trình dao động của vật là $x=8\cos \left( 5\pi t+\varphi  \right).$

Tại $t=0$ ta có: $\left\{ \begin{array}{} x=8\cos \varphi =4 \\ {} v=-40\pi \sin \varphi =-20\pi \sqrt{3} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \varphi =\frac{\pi }{3}\Rightarrow $ PTDĐ: $x=8\cos \left( 5\pi t+\frac{\pi }{3} \right)(cm).$

Chọn A.

Lời giải

Khoảng thời gian 2 làn liên tiếp vật đi qua VTCB là: $\Delta t=\frac{T}{2}=1s\Rightarrow T=2s\Rightarrow \omega =\pi \text{ }\left( rad/s \right).$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{} {{v}_{0}}=-\pi \sqrt{3} \\ {} a=-10=-{{\omega }^{2}}x \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} {{x}_{0}}=1\text{ }cm \\ {} A=\sqrt{x_{0}^{2}+{{\left( \frac{{{v}_{0}}}{\omega } \right)}^{2}}}=2\text{ cm} \\ \end{array} \right.$

Giả sử phương trình dao động của vật là $x=2\cos \left( \pi t+\varphi  \right).$

Tại $t=0$ ta có: $\left\{ \begin{array}{} x=2\cos \varphi =1 \\ {} v=-2\pi \sin \varphi =-\pi \sqrt{3} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \varphi =\frac{\pi }{3}\Rightarrow $PTDĐ: $x=2\cos \left( \pi t+\frac{\pi }{3} \right)\left( cm \right).$ Chọn C.

Lời giải

Biên độ dao động là $A=\frac{\ell }{2}=4\text{ cm}\text{.}$

Lại có: $\omega A=40\pi \Rightarrow \omega =10\pi \left( rad/s \right).$

Giả sử phương trình dao động của vật là $x=4\cos \left( 10\pi t+\varphi  \right).$

Tại $t=0$ ta có: $\left\{ \begin{array}{} x=4\cos \varphi =2\sqrt{3} \\ {} v=-40\pi \sin \varphi >0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \varphi =\frac{-\pi }{6}\Rightarrow $PTDĐ: $x=4\cos \left( 10\pi t-\frac{\pi }{6} \right)cm.$ Chọn A.

Lời giải

Ta có: $a=-{{\omega }^{2}}x\Rightarrow x=\frac{a}{-{{\omega }^{2}}}=-0,02\cos \left( 20t-\frac{\pi }{2} \right)m.$

Do đó $a=2\cos \left( 20t+\frac{\pi }{2} \right)cm.$ Chọn D.

Lời giải

Khi vật đi qua vị trí cân bằng thì $v={{v}_{\max }}=8\text{ }m/s.$

Ta có: ${{\left( \frac{{{v}_{0}}}{{{v}_{\max }}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{a}_{0}}}{{{a}_{\max }}} \right)}^{2}}=1\Rightarrow {{a}_{0}}=\frac{{{a}_{\max }}\sqrt{3}}{2}\Rightarrow {{a}_{\max }}=80\text{ }m/{{s}^{2}}.$

Do đó $\omega =\frac{{{a}_{\max }}}{{{v}_{\max }}}=10\left( rad/s \right),\text{ }A=\frac{{{v}_{\max }}}{\omega }=0,8\text{ }m.$

Tại thời điểm ban đầu $\left\{ \begin{array}{} A\cos \varphi =-0,4\sqrt{3} \\ {} \sin \varphi <0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \varphi =\frac{-5\pi }{6}.$ Chọn B.

Lời giải

Ta có: $A=5\text{ }cm,\text{ }\omega =\frac{2\pi }{T}=\pi \left( rad/s \right).$

Phương trình dao động của vật có dạng: $x=5\cos \left( \pi t+\varphi  \right).$

Tại $t=0$ ta có: $\left\{ \begin{array}{} x=5\cos \varphi  \\ {} v=-5\pi \sin \varphi >0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \varphi =-\frac{\pi }{2}.$ Chọn C.

Lời giải

Tần số góc của vật là $\omega =2\pi f=6\pi \left( rad/s \right).$

Độ dài quỹ đạo bằng 20 cm $\Rightarrow $Biên độ dao động của chất điểm là $A=10cm$

Khi $v=-30\pi \sqrt{3}$, áp dụng hệ thức độc lập ta có $x=\sqrt{{{A}^{2}}-\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}}=5cm$

Vật đang chuyển động chậm dần $\Rightarrow x=-5cm$ và lúc này có $v<0$

$\Rightarrow $Pha dao động tại thời điểm $t=\frac{1}{18}\left( s \right)$là $\varphi =\frac{2\pi }{3}\left( rad \right)$

Pha dao động của một thời điểm được xác định bởi: $\omega t+{{\varphi }_{0}}=\varphi $

$\Rightarrow 6\pi .\frac{1}{18}+{{\varphi }_{0}}=\frac{2\pi }{3}\Rightarrow {{\varphi }_{0}}=\frac{\pi }{3}\left( rad \right)\Rightarrow x=10\cos \left( 6\pi t+\frac{\pi }{3} \right)cm.$Chọn A.

Lời giải

Hệ thức độc lập thời gian giữa li độ và vận tốc: ${{\left( \frac{x}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{v}{{{v}_{m\text{ax}}}} \right)}^{2}}=1$

Tại mọi thời điểm t li độ và vận tốc của vật thỏa mãn $\frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{v}^{2}}}{250}=1\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} A=5\text{ }cm \\ {} {{v}_{m\text{ax}}}=5\pi  \\ \end{array} \right.$

Tần số góc của vật là $\omega =\frac{{{v}_{\max }}}{A}=\pi \left( rad/s \right)$

Tại thời điểm $t=\frac{2}{3}\left( s \right)$ vật đang ở li độ $x=2,5cm$ và chuyển động nhanh dần

$\Rightarrow $Pha dao động lúc này là $\varphi =\frac{\pi }{3}\left( rad \right)\Rightarrow \omega t+{{\varphi }_{0}}=\frac{\pi }{3}\Leftrightarrow \frac{2\pi }{3}+{{\varphi }_{0}}=\frac{\pi }{3}\Leftrightarrow {{\varphi }_{0}}=-\frac{\pi }{3}\left( rad \right)$

Phương trình dao động là  Chọn B.

Lời giải

Giả sử phương trình tọa độ của chất điểm dao động: $x=Ac\text{os}\left( \omega t+\varphi   \right)$

$\Rightarrow v={x}'=A\omega cos\left( \omega t+\varphi +\pi \text{/2} \right)$. Đồng nhất: $v=12\pi c\text{os}\left( 4\pi t+\pi \text{/6} \right)\left( cm/s \right).$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} A=\frac{12\pi }{4\pi }=3cm \\ {} \varphi +\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{6}\Rightarrow \varphi =-\frac{\pi }{3} \\ \end{array} \right.\Rightarrow $ Phương trình: $x=3\cos \left( 4\pi t-\pi \text{/3} \right)cm.$

Ta có $x\left( t=0 \right)=3\cos \left( -\pi \text{/3} \right)=1,5cm\ne 5,5cm$(vị trí đề cho lúc $t=0$)

Lệch phần này là do X = 5,5 cm là tọa độ, còn x = 1,5 cm là ly độ. Ở đây ly độ không trùng tọa độ 

$\Rightarrow $dao động có vị trí cân bằng không nằm ở gốc tọa độ mà nằm ở vị trí ${{x}_{0}}$.

Ta có $X\left( t=0 \right)=x\left( t=0 \right)+{{x}_{0}}\Leftrightarrow 1,5+{{x}_{0}}=5,5\Rightarrow {{x}_{0}}=4cm.$

$\Rightarrow $Phương trình: $x=3\cos \left( 4\pi t-\pi \text{/3} \right)+4\text{ }cm.$ Chọn B.