Tìm điểm m thuộc P sao cho u=ma+mb+mc có u min nhỏ nhất

Tìm điểm m thuộc P sao cho u=ma+mb+mc có u min nhỏ nhất

Bài toán:

Tìm điểm M thuộc (P) sao cho $\overrightarrow{u}=a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}+c\overrightarrow{MC}$có $\left| \overrightarrow{u} \right|$đạt min.

Phương pháp giải:

+Tìm điểm I thõa mãn hệ thức $a\overrightarrow{IB}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$ tọa độ điểm I là: $\left\{ \begin{array}  {} {{x}_{1}}=\frac{a{{x}_{A}}+b{{x}_{B}}+c{{x}_{C}}}{a+b+c} \\  {} {{y}_{1}}=\frac{a{{y}_{A}}+b{{y}_{B}}+c{{y}_{C}}}{a+b+c} \\  {} {{z}_{1}}=\frac{a{{z}_{A}}+b{{z}_{B}}+c{{z}_{C}}}{a+b+c} \\ \end{array} \right.$

Phân tích $\overrightarrow{u}=a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}+c\overrightarrow{MC}=\left( a+b+c \right)\overrightarrow{MI}+\left( a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC} \right)=\left( a+b+c \right)\overrightarrow{MI}$

Khi đó $\left| \overrightarrow{u} \right|=\left| a+b+c \right|MI\Rightarrow {{\left| \overrightarrow{u} \right|}_{\min }}\Leftrightarrow $M là hình chiếu vuông góc của I lên (P).

Viết phương trình đường thẳng IM đi qua I và vuông góc với (P) $\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{IM}}}=\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}$

Khi đó $M=\left( P \right)\cap \left( IM \right)$.

  Bài tập cực trị oxyz có đáp án chi tiết

Lời giải chi tiết

a)      Gọi $I\left( 1;2;0 \right)$ là trung điểm của AB thì $\left| \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB} \right|=\overrightarrow{0}$

Ta có: $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|=\left| 2\overrightarrow{MI} \right|$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow M{{I}_{\min }}\Leftrightarrow $là M là hình chiếu của điểm I trên (P)

Phương trình đường thẳng MI là: $\left\{ \begin{array}  {} x=1+t \\  {} y=2+t \\  {} z=-t \\ \end{array} \right.\Rightarrow M\left( 1+t;2+t;-t \right)$

Cho $M\in (P)\Rightarrow 1+t+2+t+t+3=0\Leftrightarrow t=-2\Rightarrow M\left( -1;0;2 \right)$.

b)     Gọi I là điểm thỏa mãn $2\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{x}_{1}}=\frac{2{{x}_{A}}-{{x}_{B}}}{2-1}=4 \\  {} {{y}_{1}}=\frac{2{{y}_{A}}-{{y}_{B}}}{2-1}=-1 \\  {} {{z}_{1}}=\frac{2{{z}_{A}}-{{z}_{B}}}{2-1}=-3 \\ \end{array} \right.$

Ta có: $\left| 2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB} \right|=\left| 2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IA}-\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right) \right|=\left| \overrightarrow{MI} \right|=MI$nhỏ nhất $\Leftrightarrow $ M là hình chiếu của điểm I trên (P). Phương trình đường thẳng MI là: $\left\{ \begin{array}  {} x=4+t \\  {} y=-1+t \\  {} z=-3-t \\ \end{array} \right.\Rightarrow M\left( 4+t;-1+t;-3-t \right)$

Cho $M\in (P)\Rightarrow 4+t-1+t+3+t+3=0\Leftrightarrow t=-3\Rightarrow M\left( 1;-4;0 \right)$.

Lời giải chi tiết

a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC $\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} G(0;1;-2) \\  {} \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0} \\ \end{array} \right.$.

Ta có: $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|=\left| 3\overrightarrow{MG} \right|=3MG$ $\Leftrightarrow $ M là hình chiếu của G trên  mặt phẳng (P).

Phương trình đường thẳng MG khi đó là: $\left\{ \begin{array}  {} x=t \\  {} y=-1-2t \\  {} z=-2+2t \\ \end{array} \right.\Rightarrow M\left( t;-1-2t;-2+2t \right)$

Cho $M\in (P)\Rightarrow t+4t-2+4t-4+6=0\Leftrightarrow t=0\Rightarrow M\left( 0;1;-2 \right)$.

b) Gọi I là điểm thỏa mãn $2\overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{x}_{1}}=\frac{2{{x}_{A}}-4{{x}_{B}}+3{{x}_{C}}}{2-4+3}=-6 \\  {} {{y}_{1}}=\frac{2{{y}_{A}}-4{{y}_{B}}+3{{y}_{C}}}{2-4+3}=5 \\  {} {{z}_{1}}=\frac{2{{z}_{A}}-4{{z}_{B}}+3{{z}_{C}}}{2-4+3}=-6 \\ \end{array} \right.$

Phương trình đường thẳng MI khi đó là: $\left\{ \begin{array}  {} x=-6+t \\  {} y=5-2t \\  {} z=-6+2t \\ \end{array} \right.\Rightarrow M\left( -6+t;5-2t;-6+2t \right)$

Cho $M\in (P)\Rightarrow -6+t+4t-10+4t-12+6=0\Leftrightarrow t=\frac{22}{9}\Rightarrow M\left( \frac{-32}{9};\frac{89}{9};-\frac{10}{9} \right)$.

Lời giải chi tiết

Gọi I là điểm thỏa mãn $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{x}_{1}}=\frac{2{{x}_{A}}+3{{x}_{B}}-{{x}_{C}}}{2+3-1}=2 \\  {} {{y}_{1}}=\frac{2{{y}_{A}}+3{{y}_{B}}-{{y}_{C}}}{2+3-1}=2 \\  {} {{z}_{1}}=\frac{2{{z}_{A}}+3{{z}_{B}}-{{z}_{C}}}{2+3-1}=1 \\ \end{array} \right.$

Phương trình đường thẳng MI khi đó là: $\left\{ \begin{array}  {} x=2+t \\  {} y=2+2t \\  {} z=1-t \\ \end{array} \right.\Rightarrow M\left( 2+t;2+2t;1-t \right)$

Cho $M\in (P)\Rightarrow 2+t+4t+4+t-1+1=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow M\left( 1;0;2 \right)\Rightarrow OM=\sqrt{5}$. Chọn A.

Lời giải chi tiết:

Gọi $G\left( 1;2;3 \right)$ là trọng tâm tam giác ABC thì $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

Ta có: $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}={{\overrightarrow{MA}}^{2}}+{{\overrightarrow{MB}}^{2}}+{{\overrightarrow{MC}}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC} \right)}^{2}}$

$=3M{{G}^{2}}+2\overrightarrow{MG}\left( \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} \right)+G{{A}^{2}}+G{{B}^{2}}+G{{C}^{2}}$

=$3M{{G}^{2}}+G{{A}^{2}}+G{{B}^{2}}+G{{C}^{2}}$nhỏ nhất khi M là hình chiếu của G trên mặt phẳng (P)

Phương trình MG: $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-3}{2}$suy ra $M=MG\cap (P)\Rightarrow M(0;4;1)$

Do đó $T={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=17$ . Chọn B.

Lời giải chi tiết:

Gọi I là điểm thỏa mãn $\left| \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB} \right|=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{x}_{1}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+2{{x}_{C}}}{1+1+2}=1 \\  {} {{y}_{1}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+2{{y}_{C}}}{1+1+2}=2 \\  {} {{z}_{1}}=\frac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}+2{{z}_{C}}}{1+1+2}=2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow I\left( 1;1;2 \right)$.

Khi đó $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IC}=4\overrightarrow{MI}$

Khi đó $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right|$nhỏ nhất $\Leftrightarrow M{{I}_{\min }}\Leftrightarrow $M là hình chiếu của điểm I trên mặt phẳng (P).

Ta có: $IM:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}\Rightarrow M=MI\cap (P)\Rightarrow M(2;1;0)T=4$. Chọn B.