Skip to main content
Đáp án đề thi THPT Quốc Gia 2021

Tìm điều kiện để hàm số bậc ba đạt cực trị (hoặc đạt cực tiểu hoặc đạt cực đại) tại điểm x=x0

Tìm điều kiện để hàm số bậc ba đạt cực trị (hoặc đạt cực tiểu hoặc đạt cực đại) tại điểm x=x0

Tìm điều kiện để hàm số bậc ba đạt cực trị (hoặc đạt cực tiểu hoặc đạt cực đại) tại điểm x=x0

Phương pháp giải cực trị hàm bậc ba tại điểm

Bài toán 1: Tìm $m$ để hàm số đạt cực trị tại điểm $x={{x}_{0}}.$

Điều kiện để  hàm số đạt cực trị tại điểm $x={{x}_{0}}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   \Delta {{'}_{y'}}>0\text{    }  \\   y'\left( {{x}_{0}} \right)=0  \\\end{matrix} \right..$

Bài toán 2: Tìm $m$ để hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại điểm $x={{x}_{0}}.$

Hàm số đạt cực trị tại điểm ${{x}_{0}}$ ta suy ra $y'\left( {{x}_{0}} \right)=0$, giải phương trình tìm giá trị của tham số $m$.

Với giá trị của tham số $m$ tìm được ta tính $y''\left( {{x}_{0}} \right)$ để tìm tính chất của điểm cực trị và kết luận.

Bài tập tìm điều kiện để hàm bậc 3 đạt cực trị tại điểm x=x0

Bài tập 1: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+mx-2.$ Giá trị của $m$ để hàm số đạt cực trị tại điểm $x=2$ là

A. $m=-4.$  B. $m=4.$ C. $m=2.$ D. Không tồn tại $m.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-4x+m.$

Hàm số đạt cực trị tại điểm $x=2\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   \Delta {{'}_{y'}}=4-3m>0\text{    }  \\   y'\left( 2 \right)=4+m=0\text{   }  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m=-4.$ Chọn A.

Bài tập 2: Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+mx+2.$ Giá trị của $m$ để hàm số đạt cực trị tại điểm $x=-1$ là

A. $m=-2.$ B. $m=-1.$ C. $m=1.$ D. Không tồn tại $m.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'={{x}^{2}}+2x+m.$

Hàm số đạt cực trị tại điểm $x=-1\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   \Delta {{'}_{y'}}=1-m>0\text{    }  \\   y'\left( -1 \right)=m-1=0\text{   }  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m=\varnothing .$ Chọn D.

Bài tập 3: Cho hàm số $y=2{{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+\left( m+9 \right)x-1.$ Biết hàm số có một cực trị tại $x=2$. Khi đó điểm cực trị còn lại của hàm số là

A. 1. B. 3. C. $-1.$  D. $-3.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=6{{x}^{2}}-6mx+m+9.$ Cho $y'\left( 2 \right)=24-12m+m+9=0\Leftrightarrow m=3.$

Với $m=3\Rightarrow y'=6{{x}^{2}}-18x+12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=2  \\   x=1  \\\end{matrix}. \right.$ Chọn A.

Bài tập 4: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+nx+1\left( C \right).$ Giá trị của $2m+n$ biết đồ thị hàm số đạt cực trị tại điểm $A\left( 2;7 \right)$ là:

A. 21. B. 22. C. 23. D. 20.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-2mx+n\Rightarrow y'\left( 2 \right)=-4m+n+12=0\Leftrightarrow 4m-n=12$

Mặt khác $A\left( 2;7 \right)\in \left( C \right)$ nên $x=2\Rightarrow y=7$ nên ta có $8-4m+2n+1=7\Leftrightarrow 4m-2n=2$

Khi đó $m=\frac{11}{2};n=10\Rightarrow y'=3{{x}^{2}}-11x+10\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=2  \\   x=\frac{5}{3}  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow $ Hàm số có hai điểm cực trị.

Vậy $m=\frac{11}{2};n=10\Rightarrow 2m+n=21.$ Chọn A.

 

Bài tập 5: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+3m{{x}^{2}}+nx-2.$ Giá trị của $3m+n$ biết đồ thị hàm số đạt cực trị tại điểm $A\left( -1;4 \right)$ là:

A. $-15.$  B. 15. C. $-\frac{37}{3}.$ D. Không tồn tại $m.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}+6mx+n.$ Cho $y'\left( -1 \right)=3-6m+n=0\Leftrightarrow 6m-n=3.$

Mặt khác đồ thị hàm số qua$A\left( -1;4 \right)$ nên $4=-1+3m-n-2\Leftrightarrow 3m-n=7$

Do đó $\left\{ \begin{matrix}   6m-n=3  \\   3m-n=7  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   m=\frac{-4}{3}  \\   n=-11  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow y'=3{{x}^{2}}-8x-11=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=-1  \\   x=\frac{11}{3}  \\\end{matrix} \right.$ (thỏa mãn có 2 điểm cực trị).

Chọn A.

Bài tập 6: Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{1}{2}\left( 2m-4 \right){{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}+4m+3 \right)x+1$ ($m$là tham số). Tìm $m$để hàm số đạt cực đại tại ${{x}_{0}}=2.$

A. $m=1.$  B. $m=-2.$  C. $m=-1.$  D. $m=2.$

Lời giải chi tiết

$y'={{x}^{2}}-\left( 2m+4 \right)x+{{m}^{2}}+4m+3$

Để hàm số đạt cực đại tại ${{x}_{0}}=2$ thì \[{{2}^{2}}-\left( 2m+4 \right).2+{{m}^{2}}+4m+3=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}=1\Leftrightarrow m=\pm 1\]

Với $m=1$ thì $y'={{x}^{2}}-6x+8\Rightarrow y''=2x-6\Rightarrow y''\left( 2 \right)=-20\Rightarrow {{x}_{0}}=2$ là điểm cực tiểu.

Vậy $m=1$ là điểm cần tìm. Chọn A.

Bài tập 7: Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}-m+1 \right)x+1$ đạt cực đại tại $x=1.$

A. $m=-1.$ B. $m=1.$ C. $m=2.$ D. $m=-2.$

Lời giải chi tiết

Ta có $y'={{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-m+1;y''=2x-2m$

Để hàm số đạt cực đại tại $x=1$ thì $y'\left( 1 \right)={{m}^{2}}-3m+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=1  \\   m=2  \\\end{matrix} \right..$

Với $m=1\Rightarrow y''\left( 1 \right)=0\Rightarrow x=1$ không phải điểm cực đại.

Với $m=2\Rightarrow y''\left( 1 \right)=-2<0\Rightarrow x=1$ là điểm cực đại của hàm số. Chọn C.

Bài tập 8: Cho hàm số $y=-18{{x}^{3}}+9\left( {{m}^{2}}+1 \right){{x}^{2}}+6\left( 2-3m \right)x+2019$ với$m$là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$để hàm số đạt cực tiểu tại $x=\frac{1}{3}.$

A. $m=2.$ B. $m=-1.$ C. $m=1.$ D. $m=-2.$

Lời giải chi tiết

Ta có $y'=-54{{x}^{2}}+18\left( {{m}^{2}}+1 \right)x+6\left( 2-3m \right),y''=-108x+18\left( {{m}^{2}}+1 \right).$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\frac{1}{3}$ khi đó $y'\left( \frac{1}{3} \right)=0\Leftrightarrow -6+6\left( {{m}^{2}}+1 \right)+6\left( 2-3m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=2\text{  }  \\   m=-1  \\\end{matrix} \right..$

TH1: Với $m=-1\Rightarrow y'\left( \frac{1}{3} \right)=0\Rightarrow x=\frac{1}{3}$ không phải điểm cực tiểu của hàm số.

TH2: Với $m=2\Rightarrow y'\left( \frac{1}{3} \right)=54>0\Rightarrow x=\frac{1}{3}$ là điểm cực tiểu của hàm số.

Suy ra với $m=2$ thỏa mãn đề bài. Chọn A.

Bài tập 9: Cho hàm số $y=-{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+{{m}^{2}}x+2.$ Giá trị của $m$để hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$ là:

A. $m=-1.$ B. $m=3.$ C. $\left[ \begin{matrix}   m=-1  \\   m=3\text{  }  \\\end{matrix} \right..$               D. $\left[ \begin{matrix}   m=1\text{   }  \\   m=-3  \\\end{matrix} \right..$

Lời giải chi tiết

Ta có $y'=-3{{x}^{2}}+2mx+{{m}^{2}}.$ Cho \[y'\left( -1 \right)=-3-2m+{{m}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=-1  \\   m=3\text{  }  \\\end{matrix} \right..\]

Với $m=3\Rightarrow y''=-6x+2m=-6x+6\Rightarrow y''\left( -1 \right)=12>0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1.$

Với $m=-1\Rightarrow y''=-6x+2m=-6x-2\Rightarrow y''\left( -1 \right)=4>0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1.$

Chọn C.

Bài tập 10: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+1.$ Giá trị của $a+b$để hàm số đạt cực trị tại các điểm$x=1$ và $x=-2$ là:

A. $\frac{-9}{2}.$  B. $\frac{9}{2}.$ C. $\frac{15}{2}.$ D. $\frac{-15}{2}.$

Lời giải chi tiết

Ta có $y'=3{{x}^{2}}+2ax+b.$ Cho $\left\{ \begin{matrix}   y'\left( 1 \right)=3+2a+b=0\text{    }  \\   y'\left( -2 \right)=12-4a+b=0  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   a=\frac{3}{2}\text{ }  \\   b=-6  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow a+b=\frac{-9}{2}.$ Chọn A.

Bài tập 11: Cho biết hàm số $y=f\left( x \right)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ đạt cực tiểu tại điểm$x=1,f\left( 1 \right)=-3$ và đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2. Tính giá trị của hàm số tại $x=-2.$

A. $f\left( -2 \right)=16.$  B. $f\left( -2 \right)=24.$ C. $f\left( -2 \right)=2.$ D. $f\left( -2 \right)=4.$

Lời giải chi tiết

Ta có $f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2ax+b.$

Theo đề bài ta có $\left\{ \begin{matrix}   f'\left( 1 \right)=0\text{             }  \\   f\left( 1 \right)=-3\text{            }  \\   f\left( 0 \right)=2\text{              }  \\   f''\left( 1 \right)=6+2a>0  \\\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   3+2a+b=0\text{    }  \\   1+a+b+c=-3  \\   c=2\text{                 }  \\   a>-3\text{               }  \\\end{matrix} \right. \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   a=3\text{  }  \\   b=-9  \\   c=2\text{  }  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-9x+2$

$\Rightarrow f\left( -2 \right)=24.$ Chọn B.

Bài tập 12: [Đề thi thử nghiệm 2017] Biết $M\left( 0;2 \right),N\left( -2;2 \right)$ là các điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d.$ Tính giá trị tại điểm $x=-2$.

A. $y\left( -2 \right)=2.$  B. $y\left( -2 \right)=22.$ C. $y\left( -2 \right)=6.$ D. $y\left( -2 \right)=-18.$

Lời giải chi tiết

Ta có $y'=3{{x}^{2}}+2bx+c.$

Hàm số đạt cực trị tại điểm $x=0;x=2\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   y'\left( 0 \right)=c=0\text{           }  \\   y'\left( 2 \right)=12a+4b=0  \\\end{matrix} \right.(1)$

Lại có $M,N\in \left( C \right)\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   y\left( 0 \right)=d=2\text{             }  \\   y\left( 2 \right)=8a+4b+c+2  \\\end{matrix} \right.(2).$

Từ (1) và (2)$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   c=0,d=2  \\   a=1,b=-3  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2.$ Do đó $y\left( -2 \right)=-18.$ Chọn D.

Bài tập 13: Biết đồ thị hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ có các điểm cực trị $E\left( 0;-4 \right)$ và $F\left( -1;-3 \right)$. Tính giá trị hàm số tại điểm $x=-2$.

A. $y\left( -2 \right)=-8.$ B. $y\left( -2 \right)=-6.$ C. $y\left( -2 \right)=-4.$ D. $y\left( -2 \right)=-2.$

Lời giải chi tiết

Xét hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$, ta có $y'=3a{{x}^{2}}+2bx+c$

Điểm $E\left( 0;-4 \right)$ là điểm cực trị của đồ thị hàm số $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   y'\left( 0 \right)=0\text{  }  \\   y\left( 0 \right)=-4  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   c=0\text{    }  \\   d=-4  \\\end{matrix} \right.(1).$

Điểm $F\left( -1;-3 \right)$ là điểm cực trị của đồ thị hàm số $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   y'\left( -1 \right)=0\text{  }  \\   y\left( -1 \right)=-3  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   3a-2b=0\text{    }  \\   -a+b-4=-3  \\\end{matrix} \right.(2).$

Từ (1) và (2) suy ra $a=2,b=3,c=0,d=-4\Leftrightarrow y=2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4\Rightarrow y\left( -2 \right)=-8.$ Chọn A.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

Lý thuyết Toán Lớp 12