Tìm m để đồ thị hàm số đạt cực trị tại các điểm A, B thỏa mãn điều kiện K

Tìm m để đồ thị hàm số đạt cực trị tại các điểm A, B thỏa mãn điều kiện K.

Phương pháp giải cực trị hàm bậc 3 có chứa tham số m

Xét hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$

Khi $y'=3a{{x}^{2}}+2bx+c=0$ có hai nghiệm phân biệt ta gọi $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)$ và $B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$là tọa độ hai điểm cực trị thì theo định lý Viet ta có: $\left\{ \begin{matrix}   {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-2b}{3a}  \\   {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{3a}\text{     }  \\\end{matrix} \right..$

Thực hiện phép chia đa thức $y$ cho $y'$ ta được $y=y'.g\left( x \right)+h\left( x \right).$

Khi đó ${{y}_{1}}=y'\left( {{x}_{1}} \right).g\left( {{x}_{1}} \right)+h\left( {{x}_{1}} \right)=h\left( {{x}_{1}} \right)$ và ${{y}_{2}}=y'\left( {{x}_{2}} \right).g\left( {{x}_{2}} \right)+h\left( {{x}_{2}} \right)=h\left( {{x}_{2}} \right)$

Chú ý:

Độ dài đoạn thẳng $AB=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)}^{2}}}.$

$\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)={{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{1}}{{y}_{2}}.$

Tam giác $CAB$ vuông tại $C$ thì $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=0.$

Công thức diện tích $\Delta CAB:{{S}_{CAB}}=\frac{1}{2}d\left( C;AB \right).AB.$

Bài tập tìm m để hàm số đạt cực đại cực tiểu tại A, B thõa mãn điều kiện K

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=2{{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x-4m\left( 3m-1 \right);\forall x\in \mathbb{R}$

Đặt $f\left( x \right)={{x}^{2}}+\left( m-1 \right)x-2m\left( 3m-1 \right).$

Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu $\Leftrightarrow y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow f\left( x \right)=0$ có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow {{\Delta }_{f\left( x \right)}}>0\Leftrightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}+8m\left( 3m-1 \right)>0\Leftrightarrow 25{{m}^{2}}-10m+1>0\Leftrightarrow {{\left( 5m-1 \right)}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne \frac{1}{5}$

Khi đó gọi $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)$, $B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ lần lượt là tọa độ của hai điểm cực trị, áp dụng định lý Viet cho phương trình $f\left( x \right)=0$ suy ra $\left\{ \begin{matrix}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1-m\text{          }  \\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=2m\left( 1-3m \right)\text{     }  \\\end{matrix} \right.(*)$

Từ giả thiết, ta có $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=8\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=8,$ kết hợp với (*) ta được

${{\left( 1-m \right)}^{2}}-4m\left( 1-3m \right)=8\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m+1+12{{m}^{2}}-4m=8\Leftrightarrow 13{{m}^{2}}-6m-7=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=1  \\   m=\frac{-7}{13}  \\\end{matrix} \right.$

Đối chiếu với điều kiện $m\ne \frac{1}{5}$ nên $m=1;m=\frac{-7}{13}$ là giá trị cần tìm.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-3\left( 4m+1 \right)x-3\left( 5{{m}^{2}}+m \right);\forall x\in \mathbb{R}$

Đặt $f\left( x \right)={{x}^{2}}-\left( 4m+1 \right)x-5{{m}^{2}}-m.$

Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu $\Leftrightarrow y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow f\left( x \right)=0$ có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow {{\Delta }_{f\left( x \right)}}>0\Leftrightarrow {{\left( 4m+1 \right)}^{2}}+4\left( 5{{m}^{2}}+m \right)=36{{m}^{2}}+12m+1={{\left( 6m+1 \right)}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne \frac{-1}{6}$

Khi đó gọi $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)$, $B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ lần lượt là tọa độ của hai điểm cực trị, áp dụng định lý Viet cho phương trình $f\left( x \right)=0$ suy ra $\left\{ \begin{matrix}   {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4m+1\text{          }  \\   {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-5{{m}^{2}}-m\text{        }  \\\end{matrix} \right.(*)$

Từ giả thiết, ta có $\left\{ \begin{matrix}   {{x}_{1}}>-4  \\   {{x}_{2}}>-4  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   {{x}_{1}}+4>0  \\   {{x}_{2}}+4>0  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   \left( {{x}_{1}}+4 \right)+\left( {{x}_{2}}+4 \right)>0  \\   \left( {{x}_{1}}+4 \right)\left( {{x}_{2}}+4 \right)>0\text{  }  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   {{x}_{1}}+{{x}_{2}}>-8\text{                   }  \\   {{x}_{1}}{{x}_{2}}+4\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+16>0  \\\end{matrix} \right.$

Kết hợp với (*) ta được

$\left\{ \begin{matrix}   4m+1>-8\text{                          }  \\   -5{{m}^{2}}-m+4\left( 4m+1 \right)+16>0  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   4m>-9\text{                 }  \\   5{{m}^{2}}-15m-20-9\text{    }  \\   -1<m<4  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow -1<m<4$

Đối chiếu với điều kiện $m\ne \frac{-1}{6}$ nên suy ra $m\in \left( -1;\frac{-1}{6} \right)\cup \left( \frac{-1}{6};4 \right)$ là giá trị cần tìm.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}+\left( m-3 \right)x-2\left( {{m}^{2}}-m \right);\forall x\in \mathbb{R}$

Đặt $f\left( x \right)=3{{x}^{2}}+\left( m-3 \right)x-2\left( {{m}^{2}}-m \right).$

Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu $\Leftrightarrow y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow f\left( x \right)=0$ có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow {{\Delta }_{f\left( x \right)}}>0\Leftrightarrow {{\left( m-3 \right)}^{2}}+24\left( {{m}^{2}}-m \right)=25{{m}^{2}}-30m+9={{\left( 5m-3 \right)}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne \frac{5}{3}$

Khi đó gọi $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)$, $B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ lần lượt là tọa độ của hai điểm cực trị, áp dụng định lý Viet cho phương trình $f\left( x \right)=0$ suy ra ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{3-m}{3};{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{2m-2{{m}^{2}}}{3}\text{    (*)}$

Từ giả thiết, ta có $x_{1}^{2}.{{x}_{2}}+{{x}_{1}}.x_{2}^{2}=\frac{-16}{9}\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+\frac{16}{9}=0.$ Kết hợp với (*) ta được

$\frac{2m-2{{m}^{2}}}{3}.\frac{3-m}{3}+\frac{16}{9}=0\Leftrightarrow \left( 2m-2{{m}^{2}} \right)\left( 3-m \right)+16=0$

$\Leftrightarrow 6m-2{{m}^{2}}-6{{m}^{2}}+2{{m}^{3}}+16=0\Leftrightarrow 2{{m}^{3}}-8{{m}^{2}}+6m+16=0\Leftrightarrow m=-1.$

Đối chiếu với điều kiện $m\ne \frac{5}{3}$ nên suy ra $m=-1$ là giá trị cần tìm.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'={{x}^{2}}-\left( 2m+3 \right)x+{{m}^{2}}+3m;\forall x\in \mathbb{R}$

Đặt $f\left( x \right)={{x}^{2}}-\left( 2m+3 \right)x+{{m}^{2}}+3m.$

Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu $\Leftrightarrow y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow f\left( x \right)=0$ có hai nghiệm phân biệt$\Leftrightarrow {{\Delta }_{f\left( x \right)}}>0\Leftrightarrow {{\left( 2m+3 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}+3m \right)=9>0\Leftrightarrow m\in \mathbb{R}$

Khi đó gọi $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)$, $B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ lần lượt là tọa độ của hai điểm cực trị, ta có

$\left[ \begin{matrix}   {{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{2m+3+3}{2}=m+3  \\   {{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{2m+3-3}{2}=m\text{     }  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow {{x}_{1}}>{{x}_{2}}\text{    }\left( 3>0\Rightarrow m+3>m \right)$

Mặt khác, vì hệ số của hàm số bậc ba $a=\frac{1}{3}>0$ do đó suy ra

${{x}_{1}}={{x}_{CT}}=m+3;{{x}_{2}}={{x}_{CD}}=m\text{    (*)}$

Từ giả thiết, ta có $x_{CD}^{3}-2{{x}_{CT}}=-10.$ Kết hợp với (*) ta được

${{m}^{3}}-2\left( m+3 \right)=-10\Leftrightarrow {{m}^{3}}-2m+4=0\Leftrightarrow m=-2$

Đối chiếu với điều kiện $m\in \mathbb{R}$ nên suy ra $m=-2$ là giá trị cần tìm.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=-{{x}^{2}}+\left( 2m-1 \right)x+m-{{m}^{2}};\forall x\in \mathbb{R}$

Đặt $f\left( x \right)={{x}^{2}}-\left( 2m-1 \right)x+{{m}^{2}}-m.$

Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu $\Leftrightarrow y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow f\left( x \right)=0$ có hai nghiệm phân biệt$\Leftrightarrow {{\Delta }_{f\left( x \right)}}>0\Leftrightarrow {{\left( 2m-1 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-m \right)=1>0\Leftrightarrow m\in \mathbb{R}$

Khi đó gọi $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)$, $B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ lần lượt là tọa độ của hai điểm cực trị, ta có

$\left[ \begin{matrix}   {{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{2m-1+1}{2}=m\text{            }  \\   {{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{2m-1-1}{2}=m-1\text{      }  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow {{x}_{1}}>{{x}_{2}}\text{    }\left( 0>-1\Rightarrow m>m-1 \right)$

Mặt khác, vì hệ số của hàm số bậc ba $a=\frac{-1}{3}<0$ do đó suy ra

${{x}_{1}}={{x}_{CT}}=m-1;{{x}_{2}}={{x}_{CD}}=m\text{    (*)}$

Từ giả thiết, ta có $3x_{CT}^{2}+x_{CD}^{2}<1.$ Kết hợp với (*) ta được

$3{{\left( m-1 \right)}^{2}}+{{m}^{2}}<1\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-6m+2<0\Leftrightarrow \frac{1}{2}<m<1$

Đối chiếu với điều kiện $m\in \mathbb{R}$ nên suy ra $\frac{1}{2}<m<1$ là giá trị cần tìm.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-2\left( 2m+1 \right)x+m=0\text{   (1)}\text{.}$

Để hàm số đã cho 2 điểm cực trị $\Leftrightarrow PT(1)$ có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta '={{\left( 2m+1 \right)}^{2}}-3m>0\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+m+1>0\Leftrightarrow m\in \mathbb{R}$

Khi đó gọi ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ là hoành độ các điểm cực trị. Theo định lý Viet ta có: $\left\{ \begin{matrix}   {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{2\left( 2m+1 \right)}{3}  \\   {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{m}{3}\text{               }  \\\end{matrix} \right.$

Do vậy $A=4{{x}_{1}}{{x}_{2}}+3\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]=3{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{4{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}}{3}-\frac{2m}{3}$

$A=\frac{16{{m}^{2}}+14m+4}{3}=2\Leftrightarrow 16{{m}^{2}}+14m-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=-1  \\   m=\frac{1}{8}\text{ }  \\\end{matrix} \right..$

Vậy $m=-1;m=\frac{1}{8}$ là các giá trị cần tìm.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6x+3m=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+m=0\text{   (1)}$

Để hàm số đã cho 2 điểm cực trị $\Leftrightarrow PT(1)$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta '=1-m>0\Leftrightarrow m<1$

Khi đó gọi ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$là hoành độ các điểm cực trị. Theo định lý Viet ta có: $\left\{ \begin{matrix}   {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2  \\   {{x}_{1}}{{x}_{2}}=m\text{  }  \\\end{matrix} \right.$

Kết hợp: $\left\{ \begin{matrix}   {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\text{  }  \\   \begin{array}  {} 2{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=5 \\  {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=m \\ \end{array}  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   {{x}_{1}}=-1\text{                   }  \\   \begin{array}  {} {{x}_{2}}=3 \\  {} m={{x}_{1}}{{x}_{2}}=-3\text{  }(tm) \\ \end{array}  \\\end{matrix} \right.$

Vậy $m=-3$ là giá trị cần tìm.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6\left( m+1 \right)x+6m=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+2m=0\text{   (1)}\text{.}$

Để hàm số đã cho 2 điểm cực trị dương$\Leftrightarrow PT(1)$ có hai nghiệm phân biệt dương

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   \Delta '={{\left( m+1 \right)}^{2}}-2m={{m}^{2}}+1>0  \\   2\left( m+1 \right)>0\text{                            }  \\   2m>0\text{                                    }  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m>0.$

Khi đó gọi ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$là hoành độ các điểm cực trị. Theo định lý Viet ta có: $\left\{ \begin{matrix}   {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m+2  \\   {{x}_{1}}{{x}_{2}}=2m\text{         }  \\\end{matrix} \right.$

Theo giả thiết, ta có ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2\sqrt{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}2m+2+2\sqrt{2m}=10\Leftrightarrow 2m+2\sqrt{m}-8=0.$

Đặt $t=\sqrt{2m}\text{ }\left( t\ge 0 \right)$ ta có: ${{t}^{2}}+2t-8=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   t=2\Rightarrow \sqrt{2m}=2\Leftrightarrow m=2\text{ }\left( tm \right)  \\   t=-4\text{ }(loai)\text{                              }  \\\end{matrix} \right.$

Vậy $m=2$ là giá trị cần tìm.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6mx+3\left( 2m+1 \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+2m+1=0\text{   (1)}$

Để hàm số đã cho 2 điểm cực trị $\Leftrightarrow PT(1)$ có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta '={{m}^{2}}-2m-1>0\text{ (*)}$

Khi đó gọi ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$là hoành độ các điểm cực trị. Theo định lý Viet ta có: $\left\{ \begin{matrix}   {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m\text{          }  \\   {{x}_{1}}{{x}_{2}}=2m+1\text{         }  \\\end{matrix} \right.$

Theo giả thiết, ta có $\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\frac{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\frac{4{{m}^{2}}-2\left( 2m+1 \right)}{2m+1}=-6$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m\ne \frac{1}{2}\text{                }  \\   4{{m}^{2}}+8m+4=0  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m=-1\text{ }\left( tm \right).$ Vậy $m=-1$ là giá trị cần tìm.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'={{x}^{2}}-\left( 2m-1 \right)x-m\text{  (*)}$

Để hàm số đạt cực trị tại hai điểm phân biệt thì (*) có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow {{\left( 2m-1 \right)}^{2}}+4m>0\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+1>0,\forall m$

Gọi ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$là hoành độ của hai điểm cực trị $\Rightarrow {{x}_{1}},{{x}_{2}}$là hai nghiệm của phương trình

$\left( * \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m-1\text{          }  \\   {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-m\text{                  }  \\\end{matrix} \right.$

Ta  có $\left( {{x}_{1}}+1 \right)\left( {{x}_{2}}+1 \right)=2\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+1=2\Leftrightarrow -m+2m-1+1=2\Leftrightarrow m=2$

Vậy $m=2$ là giá trị cần tìm.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'={{x}^{2}}-\left( m-1 \right)x+1\text{  (*)}$

Để hàm số đạt cực trị tại hai điểm phân biệt thì (*) có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}-4>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-3>0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m>3  \\   m<-1  \\\end{matrix} \right.$

Gọi ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$là hoành độ của hai điểm cực trị $\Rightarrow {{x}_{1}},{{x}_{2}}$là hai nghiệm của phương trình

$\left( * \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m-1\text{          }  \\   {{x}_{1}}{{x}_{2}}=1\text{                    }  \\\end{matrix} \right.$

Ta  có $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=18\Leftrightarrow {{\left( x_{1}^{{}}+x_{2}^{{}} \right)}^{3}}-3x_{1}^{{}}x_{2}^{{}}\left( x_{1}^{{}}+x_{2}^{{}} \right)=18$

$\Leftrightarrow {{\left( m-1 \right)}^{3}}-3\left( m-1 \right)=18\Leftrightarrow {{m}^{3}}-3{{m}^{2}}-16=0\Leftrightarrow \left( m-4 \right)\left( {{m}^{2}}+m+4 \right)=0\Leftrightarrow m=4$

Vậy $m=4$ là giá trị cần tìm.

Lời giải chi tiết

$y'=3{{x}^{2}}-6mx+3=\text{3}\left( {{x}^{2}}-2mx+1 \right);y'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+1=0.$

Hàm số đã cho đạt cực trị tại ${{x}_{1}}$;${{x}_{2}}$$\Leftrightarrow y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta '={{m}^{2}}-1>0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m>1\text{  }  \\   m<-1  \\\end{matrix} \right.\text{   (*)}$

Theo định lý Viet có ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m;{{x}_{1}}{{x}_{2}}=1$

Theo đề bài ${{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+1 \right)}^{2}}=25{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ nên ${{\left( 2m+1 \right)}^{2}}=25\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   2m+1=5\text{  }  \\   2m+1=-5  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=2\text{  }  \\   m=-3  \\\end{matrix} \right.\text{  }\left( TM\left( * \right) \right)$

Đ/s: $m=2$ hoặc $m=-3$.

Lời giải

Ta có: $y'=6{{x}^{2}}-6\left( m+1 \right)x+6m=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+m=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-mx+m=0$

$\Leftrightarrow x\left( x-1 \right)-m\left( x-1 \right)=0\Leftrightarrow \left( x-m \right)\left( x-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=1  \\   x=m  \\\end{matrix}\text{  }\left( 1 \right) \right.$

Để hàm số có 2 điểm cực trị thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m\ne 1.$

Khi đó ta xét 2 trường hợp:

TH1: Cho ${{x}_{1}}=1;{{x}_{2}}=m$ta có: $4+1+{{m}^{2}}=19\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{19}\text{ }\left( tm \right)$

TH2: Cho ${{x}_{1}}=m;{{x}_{2}}=1$ta có: $4{{m}^{2}}+m+1=19\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+m-18=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=2  \\   m=\frac{9}{4}  \\\end{matrix} \right.\text{  }\left( tm \right)$

Vậy $m=\pm \sqrt{19};m=2;m=\frac{9}{4}$ là các giá trị cần tìm.

Lời giải

Ta có: $y'=6{{x}^{2}}-6\left( m+2 \right)x+12m=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left( m+2 \right)x+2m=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-2mx+2m=0$

$\Leftrightarrow x\left( x-2 \right)-m\left( x-2 \right)=0\Leftrightarrow \left( x-m \right)\left( x-2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=2  \\   x=m  \\\end{matrix}\text{  }\left( 1 \right) \right.$

Để hàm số có 2 điểm cực trị thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m\ne 2.$

Khi đó ta xét 2 trường hợp:

TH1: Cho ${{x}_{1}}=2;{{x}_{2}}=m$ta có: $4+{{m}^{2}}+4=7\Leftrightarrow m=-1\text{ }\left( loai \right)$

TH2: Cho ${{x}_{1}}=m;{{x}_{2}}=2$ta có: ${{m}^{2}}+2m+4=7\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=1\text{  }  \\   m=-3  \\\end{matrix} \right.\text{  }\left( tm \right)$

Vậy $m=1;m=-3$ là các giá trị cần tìm.

Lời giải

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6x+3\left( 1-{{m}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+1-{{m}^{2}}=0\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}={{m}^{2}}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x-1=m\text{  }  \\   x-1=-m  \\\end{matrix}\Leftrightarrow  \right.\left[ \begin{matrix}   x=1+m\text{  }  \\   x=1-m  \\\end{matrix} \right.$

Để hàm số có 2 điểm cực trị thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 1+m\ne 1-m\Leftrightarrow m\ne 0.$

Khi đó ta xét 2 trường hợp:

TH1: Cho ${{x}_{1}}=1+m;{{x}_{2}}=1-m$ta có: $3{{\left( 1+m \right)}^{2}}+1-m+\left( 1-m \right)\left( 1+m \right)=5$

$\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}+5m+5=5\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=0\left( loai \right)  \\   m=-\frac{5}{2}\text{     }  \\\end{matrix} \right.$

TH2: Cho ${{x}_{1}}=1-m;{{x}_{2}}=1+m$ta có: $3{{\left( 1-m \right)}^{2}}+1+m+\left( 1-m \right)\left( 1+m \right)=5\text{ }$

$\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-5m+5=5\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=0\left( loai \right)\text{  }  \\   m=\frac{5}{2}\text{           }  \\\end{matrix} \right.\text{ }$

Vậy $m=\pm \frac{5}{2}$ là các giá trị cần tìm.

Lời giải

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6mx+3\left( {{m}^{2}}+1 \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-1=0\Leftrightarrow {{\left( x-m \right)}^{2}}={{1}^{2}}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x-m=1\text{  }  \\   x-m=-1  \\\end{matrix}\Leftrightarrow  \right.\left[ \begin{matrix}   x=m+1\text{  }  \\   x=m-1\text{  }  \\\end{matrix} \right.$

Để hàm số có 2 điểm cực trị thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m+1\ne m-1\Leftrightarrow m\in \mathbb{R}.$

Khi đó ta xét 2 trường hợp:

TH1: Cho ${{x}_{1}}=m+1;{{x}_{2}}=m-1$ta có: $\frac{3}{m+1}+\frac{1}{m-1}=2\Leftrightarrow 4m-2=2\left( {{m}^{2}}-1 \right)\left( m\ne \pm 1 \right)$

$\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-4m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=0\text{     }  \\   m=2\text{     }  \\\end{matrix} \right.$

TH2: Cho ${{x}_{1}}=m-1;{{x}_{2}}=m+1$ta có: $\frac{3}{m-1}+\frac{1}{m+1}=2\Leftrightarrow 4m+2=2\left( {{m}^{2}}-1 \right)$

$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-2=0\Leftrightarrow m=1\pm \sqrt{3}$

Vậy $m=0;m=1;m=1\pm \sqrt{3}$ là các giá trị cần tìm.

Lời giải

TXĐ: $D=\mathbb{R}$. Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-12x-3\left( {{m}^{2}}-3 \right);y'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x-{{m}^{2}}+3=0$

Hàm số đã cho đạt cực trị ${{x}_{1}};{{x}_{2}}\Leftrightarrow y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta =4+{{m}^{2}}-3>0\Leftrightarrow m\in \mathbb{R}\text{   }\left( * \right)$

Khi đó theo Viet có ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4;{{x}_{1}}{{x}_{2}}=3-{{m}^{2}}$. Bài ra ${{x}_{2}}=-5{{x}_{1}}\Rightarrow {{x}_{1}}-5{{x}_{1}}=4\Leftrightarrow {{x}_{1}}=-1\Rightarrow {{x}_{2}}=5$

$\Rightarrow 3-{{m}^{2}}=-1.5\Leftrightarrow {{m}^{2}}=8\Leftrightarrow m=\pm 2\sqrt{2}.$ Thỏa mãn (*).

Lời giải

TXĐ: $D=\mathbb{R}$. Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6\left( m-1 \right)x+3\left( {{m}^{2}}-3m \right);y'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+{{m}^{2}}-3m=0$

Hàm số đã cho có cực trị ${{x}_{1}};{{x}_{2}}\Leftrightarrow y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta ={{\left( m-1 \right)}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-3m \right)>0\Leftrightarrow m+1>0\Leftrightarrow m>-1\text{   }\left( * \right)$

Khi đó theo Viet có ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\left( m-1 \right);{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}}-3m.$.

Bài ra có $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=8\Leftrightarrow {{\left( x_{1}^{{}}+x_{2}^{{}} \right)}^{2}}-2x_{1}^{{}}x_{2}^{{}}=8\Rightarrow 4{{\left( m-1 \right)}^{2}}-2\left( {{m}^{2}}-3m \right)=8$

$\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-2m-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=-1\left( Ko\text{ }TM\left( * \right) \right)  \\   m=2\left( TM\left( * \right) \right)  \\\end{matrix} \right.$.

Lời giải

TXĐ: $\mathbb{R}$. Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6mx=3x\left( x-2m \right);y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{   }  \\   x=2m  \\\end{matrix} \right.$

Hàm số đã cho đạt cực trị ${{x}_{1}};{{x}_{2}}\Leftrightarrow y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt  $\Leftrightarrow 2m\ne 0\Leftrightarrow m\ne 0\text{   }\left( * \right)$

TH1:${{x}_{1}}=0;{{x}_{2}}=2m$khi đó: $x_{1}^{{}}+2x_{2}^{{}}=3\Leftrightarrow =0+2.2m=3\Leftrightarrow m=\frac{3}{4}.$ Đã thỏa mãn (*).

TH2:${{x}_{1}}=2m;{{x}_{2}}=0$khi đó: $x_{1}^{{}}+2x_{2}^{{}}=3\Leftrightarrow =2m+2.0=3\Leftrightarrow m=\frac{3}{2}.$ Đã thỏa mãn (*).

Lời giải

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6\left( m+1 \right)x+6m+3=3\left[ {{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+2m+1 \right]$

Hàm số đã có cực đại, cực tiểu khi $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta '>0\Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}-\left( 2m+1 \right)>0\Leftrightarrow m\ne 0$

Khi đó $y'=0\Rightarrow \left[ \begin{matrix}   x=2m+1  \\   x=1\text{        }  \\\end{matrix} \right.$

TH1:${{x}_{1}}=2m+1;{{x}_{2}}=1\Rightarrow 2m+1+5=2\Rightarrow m=-2$

TH2: ${{x}_{1}}=1;{{x}_{2}}=2m+1\Rightarrow 1+5\left( 2m+1 \right)=2\Rightarrow m=-\frac{2}{5}$

Vậy $m=-2;,m=-\frac{2}{5}$ là giá trị cần tìm.

Lời giải

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6mx+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)=3\left[ {{x}^{2}}-2mx+\left( {{m}^{2}}-1 \right) \right]$

Hàm số đã có cực đại, cực tiểu khi $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta '>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-1 \right)>0\Leftrightarrow 1>0,\forall m$

Khi $y'=0\Rightarrow \left[ \begin{matrix}   x=m-1  \\   x=m+1  \\\end{matrix} \right..$ Ta có $m+1>m-1\Rightarrow {{x}_{1}}=m+1,{{x}_{2}}=m-1$

Theo bài thì $x_{1}^{3}+2x_{2}^{3}=8\Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{3}}+2{{\left( m-1 \right)}^{3}}=8\Leftrightarrow 3{{m}^{3}}-3{{m}^{2}}+9m-9=0$

$\Leftrightarrow \left( m-1 \right)\left( 3{{m}^{2}}+9 \right)=0\Leftrightarrow m=1.$ Vậy $m=1$ là giá trị cần tìm.

Lời giải

Ta có: $y'={{x}^{2}}-4\Leftrightarrow {{x}^{2}}=4\Leftrightarrow x=\pm 2$

Khi đó hàm số luôn có 2 điểm cực trị tại $A\left( -2;2m+\frac{17}{3} \right)$ và $B\left( 2;2m-5 \right)$

Do đó trọng tâm tam giác $OAB$ có tọa độ $G\left( 0;\frac{4m+\frac{2}{3}}{3} \right)$

Từ giả thiết bài toán ta cho: $4m+\frac{2}{3}=2\Leftrightarrow m=\frac{1}{3}$

Vậy $m=\frac{1}{3}$ là giá trị cần tìm.

Lời giải

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6mx=0\Leftrightarrow 3x\left( x-2m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{   }  \\x=2m  \\\end{matrix} \right.\text{   }\left( 1 \right)$

Để hàm số có 2 điểm cực trị thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m\ne 0$.

Khi đó với $x=0\Rightarrow y=2{{m}^{3}}\Rightarrow A\left( 0;2{{m}^{3}} \right)$ (vì A thuộc trục tung)

Với $x=2m\Rightarrow y=-2{{m}^{3}}\Rightarrow B\left( 2m;-2{{m}^{3}} \right)$

Theo bài ra ta sẽ có: $A{{B}^{2}}=5.O{{A}^{2}}\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+16{{m}^{6}}=5.4{{m}^{6}}\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}=4{{m}^{6}}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=0\text{(loai)                }  \\   {{m}^{4}}=1\Leftrightarrow m=\pm 1  \\\end{matrix} \right.$

Vậy $m=\pm 1$ là giá trị cần tìm.

Lời giải

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6mx=0\Leftrightarrow 3x\left( x-2m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{   }  \\   x=2m  \\\end{matrix} \right.\text{   }\left( 1 \right)$

Để hàm số có 2 điểm cực trị thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m\ne 0$.

Khi đó với $x=0\Rightarrow y=2{{m}^{3}}\Rightarrow A\left( 0;4 \right).$

Với $x=2m\Rightarrow y=-2{{m}^{3}}\Rightarrow B\left( 2m;-4{{m}^{3}}+4 \right)$

Ta có: $OA=4$và $O$ và $A$ đều thuộc trục $Oy$ nên ${{S}_{AOB}}=\frac{1}{2}.OA.d\left( B;Oy \right)=2.\left| 2m \right|=4\Leftrightarrow m=\pm 1$

Vậy $m=\pm 1$ là giá trị cần tìm.

Lời giải

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6mx=3x\left( x-2m \right)$, hàm số có hai điểm cực trị khi $m\ne 0.$

Khi$y'=0\Leftrightarrow 3x\left( x-2m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\Rightarrow y=4{{m}^{3}}  \\   x=2m\Rightarrow y=0  \\\end{matrix} \right.$

Giả sử $A\left( 0;4{{m}^{3}} \right),B\left( 2m;0 \right)$ là các điểm cực trị của hàm số

Ta có ${{S}_{AOB}}=4\Leftrightarrow \frac{1}{2}.OA.OB=4\Leftrightarrow \frac{1}{2}.\left| 4{{m}^{3}} \right|.\left| 2m \right|=4\Leftrightarrow \left| {{m}^{4}} \right|=1\Leftrightarrow {{m}^{4}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=1\text{   }  \\   m=-1  \\\end{matrix} \right.$

Vậy $m=1,m=-1$ là giá trị cần tìm.

Lời giải

Ta có: $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+2,y'=3{{x}^{2}}-6mx$. Cho $y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{  }  \\   x=2m  \\\end{matrix}. \right.$

Để hàm số có cả cực đại và cực tiểu thì $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt, tức là $m\ne 0$.

Ta có $y=\frac{1}{3}\left( x-m \right).y'+2{{m}^{2}}x+2\Rightarrow $ phương trình qua cực trị là $y=2{{m}^{2}}x+2.$

Tại $x=0\Rightarrow y=2,y=0\Rightarrow x-\frac{1}{{{m}^{2}}}.$

Nên diện tích tam giác tạo bởi các trục là $S=\frac{1}{2}.2.\frac{1}{{{m}^{2}}}=4\Leftrightarrow m=\pm \frac{1}{2}.$

Vậy $m=\pm \frac{1}{2}$ là giá trị cần tìm.

Lời giải

$y'={{x}^{2}}-\left( m-3 \right)x+m-2.$ Để hàm số có 2 điểm cực trị trái dấu thì ${{x}^{2}}-\left( m-3 \right)x+m-2=0$ có 2 nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   \Delta ={{b}^{2}}-4ac>0  \\   ac<0\text{               }  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow ac=\left( m-2 \right)<0\Leftrightarrow m<-2.$ Chọn D.

Lời giải

$y'=3{{x}^{2}}-6x+m.$ ĐK có 2 cực trị là $\Delta '=9+3m>0$

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}   {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2  \\   {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{m}{3}\text{  }  \\\end{matrix} \right..$ Theo giả thiết $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=3\Leftrightarrow 4-2.\frac{m}{3}=3\Leftrightarrow m=\frac{3}{2}\left( t/m \right).$ Chọn D.

Lời giải

Ta có:$y'=2{{x}^{2}}-2mx-2\left( 3{{m}^{2}}-1 \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-mx-\left( 3{{m}^{2}}-1 \right)=0.$

ĐK có 2 cực trị là $\Delta =4{{m}^{2}}-1>0.$

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}   {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m\text{       }  \\   {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-3{{m}^{2}}\text{+1  }  \\\end{matrix} \right.$

GT $\Leftrightarrow -3{{m}^{2}}+1+2m=1\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=0\left( loai \right)  \\   m=\frac{2}{3}\text{        }  \\\end{matrix} \right..$ Chọn C.

Lời giải

Ta có:$y'=3{{x}^{2}}-6mx+3\left( m+1 \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+m+1=0.$

ĐK có 2 cực trị $\Delta '={{m}^{2}}-m-1>0.$ Khi đó $\left\{ \begin{matrix}   {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m\text{       }  \\   {{x}_{1}}{{x}_{2}}=m\text{+1        }  \\\end{matrix} \right.$

Do đó $3.2m+4.\left( m+1 \right)+16=0\Leftrightarrow m=-2$ (thỏa mãn). Chọn A.

Lời giải

Ta có $y'=\left[ \frac{1}{3}{{x}^{3}}+\left( m+3 \right){{x}^{2}}+4\left( m+3 \right)x+{{m}^{2}}-m \right]\begin{matrix}   '  \\   {}  \\\end{matrix}={{x}^{2}}+2\left( m+3 \right)x+4\left( m+3 \right).$

Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi $\Delta \left( y'=0 \right)>0\Leftrightarrow {{\left( m+3 \right)}^{2}}-4\left( m+3 \right)>0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m+3>4  \\   m+31\text{   }  \\   m<-3  \\\end{matrix} \right.\left( * \right)$

Khi đó gọi hai cực trị là ${{x}_{1}}$,${{x}_{2}}$, suy ra $\left\{ \begin{matrix}   {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2\left( m+3 \right)\text{       }  \\   {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=4\left( m\text{+3} \right)\text{             }  \\\end{matrix} \right.$

Mặt khác $-1<{{x}_{1}}0  \\   {{x}_{1}}+{{x}_{2}}>-2\text{         }  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   {{x}_{1}}.{{x}_{2}}+\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+1>0  \\   {{x}_{1}}+{{x}_{2}}>2\text{                  }  \\\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   4\left( m+3 \right)-2\left( m+3 \right)+1>0  \\   -2\left( m+3 \right)>-2\text{                }  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   m+3>-\frac{1}{2}  \\   m+3-\frac{7}{2}\text{  }  \\   m<-2\text{    }  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m\in \left( -\frac{7}{2};-2 \right).$

Kết hợp (*)$\Rightarrow m\in \left( -\frac{7}{2};-2 \right).$ Chọn D.

Lời giải

Ta có $y'=3{{x}^{2}}-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=1\text{   }  \\   x=-1  \\\end{matrix} \right..$ Hàm số có $a=1>0$ nên ${{x}_{CT}}>{{x}_{CD}}\Rightarrow {{x}_{CD}}=-1$

Khi đó ${{y}_{CD}}=y\left( -1 \right)=3+2m=4\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}.$ Chọn C.

Lời giải

$y'=3{{x}^{2}}-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=1\Rightarrow y=m-2\text{   }  \\   x=-1\Rightarrow y=m+2\text{ }  \\\end{matrix} \right..$ Khi đó $A\left( 1;m-2 \right),B\left( -1;m+2 \right)$

Ta có: $O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}=1+{{\left( m-2 \right)}^{2}}+1+{{\left( m+2 \right)}^{2}}=2{{m}^{2}}+10=12\Leftrightarrow m=\pm 1.$ Chọn A.

Lời giải

$y'=-3{{x}^{2}}+6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\Rightarrow y=m+1\text{   }  \\   x=2\Rightarrow y=m-3\text{   }  \\\end{matrix} \right..$ Để hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục hoành thì ${{y}_{CD}}.{{y}_{CT}}<0\Leftrightarrow \left( m+1 \right)\left( m-3 \right)<0\Leftrightarrow -1<m<3.$ Chọn C.

Lời giải

Ta có:$y'=3{{x}^{2}}-6\left( m+1 \right)x+3m=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+m=0$

Hàm số có 2 điểm cực trị $\Leftrightarrow \Delta '={{\left( m+1 \right)}^{2}}-m>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+m+1>0\Leftrightarrow m\in \mathbb{R}.$

Do hàm số có $a=1>0$ nên ${{x}_{CD}}{{y}_{CT}}$ nên trong trường hợp này ta luôn có

$\frac{{{y}_{1}}-{{y}_{2}}}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}0\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}=m>2\Leftrightarrow m>2.$ Chọn A.

Lời giải

Ta có:$y'={{x}^{2}}+2mx+9=0.$

ĐK để hàm số có cực trị là $\Delta {{'}_{y'}}={{m}^{2}}-9>0$

Khi đó ta có: $y=y'.\left( \frac{x}{3}+\frac{m}{3} \right)+\left( 6-\frac{2}{3}{{m}^{2}} \right)x-1-3m\Rightarrow $ đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số là: $d:y=\left( 6-\frac{2}{3}{{m}^{2}} \right)x-1-3m$

Để d đi qua điểm $A\left( -\frac{9}{2};8 \right)$ thì $\left( 6-\frac{2}{3}{{m}^{2}} \right).\left( -\frac{9}{2} \right)-1-3m=8$

$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-m-12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=4\text{      }  \\   m=-3\left( l \right)  \\\end{matrix} \right..$ Chọn C.

Lời giải

Xét hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+1$, ta có $y'=3{{x}^{2}}-6mx;y'=0\Leftrightarrow x\left( x-2m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{   }  \\   x=2m  \\\end{matrix} \right..$

Để hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi $m\ne 0.$ Khi đó gọi $A\left( 0;1 \right)$ và $B\left( 2m;1-4{{m}^{3}} \right).$

Phương trình đường thẳng OA là $x=0\Rightarrow d\left( B;\left( OA \right) \right)=2\left| m \right|$

$\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}.d\left( B\left( OA \right) \right).OA=\left| m \right|=1\Rightarrow m=\pm 1.$ Chọn B.