Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

§ Bài toán 1: Giải phương trình $h\left( x \right)=g\left( x \right)$

Biến đổi và vận dụng kết quả: Nếu hàm số $f\left( t \right)$ luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên D thì phương trình $f\left( t \right)=0$ có tối đa một nghiệm và với mọi $u,v\in D$ thì $f\left( u \right)=f\left( v \right)\Leftrightarrow u=v$.

§ Bài toán 2: Giải bất phương trình $h\left( x \right)<g\left( x \right)$

Biến đổi bất phương trình về dạng x$f\left( u \right)<f\left( v \right)$ và sử dụng kết quả:

Hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên D thì $u,v\in D$  ta có $f\left( u \right)<f\left( v \right)\Leftrightarrow u<v$.

Hàm số $f\left( t \right)$ nghịch biến trên D thì $u,v\in D$  ta có $f\left( u \right)v$.

Lời giải chi tiết

.a) Điều kiện $\left\{ \begin{array}  {} 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+6x+11\ge 0 \\  {} x\le 5 \\ \end{array} \right.\left( D \right)$.

Xét hàm số $f\left( x \right)=\sqrt{2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+6x+11}-\sqrt{5-x};\text{ }x\in \left( D \right)$.

Ta có: ${f}'\left( x \right)=\frac{3{{x}^{2}}-3x+3}{\sqrt{2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+6x+11}}+\frac{1}{2\sqrt{5-x}}>0,\text{ }\forall x\in \left( D \right)$ nên hàm số đồng biến trên D.

Phương trình đã cho trở thành $f\left( x \right)=2\sqrt{3}=f\left( 2 \right)\Rightarrow x=2$. Thử lại thu được nghiệm duy nhất $x=2$.

b) Điều kiện $x\le 3$. Phương trình đã cho tương đương với

$2{{x}^{3}}+x=\left( 7-2x \right)\sqrt{3-x}\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}+x=2\left( 3-x \right)\sqrt{3-x}+\sqrt{3-x}\text{     }\left( 1 \right)$

Xét hàm số $f\left( t \right)=2{{t}^{3}}+t;\text{ }t\in \mathbb{R}\Rightarrow {f}'\left( t \right)=6{{t}^{2}}+1>0,\text{ }\forall t\in \mathbb{R}$, vậy hàm số liên tục và đồng biến.

Khi đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)=f\left( \sqrt{3-x} \right)\Leftrightarrow x=\sqrt{3-x}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} 0\le x\le 3 \\  {} {{x}^{2}}+x-3=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{13}-1}{2}$.

Kết luận phương trình để bài có nghiệm duy nhất $x=\frac{\sqrt{13}-1}{2}$.

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện $x0,\text{ }\forall x\in \left( -\infty ;2 \right)$.

Suy ra hàm số $f\left( x \right)$ liên tục và đồng biến trên miền $\left( -\infty ;2 \right)$.

Mặt khác $f\left( \frac{3}{2} \right)=0$ nên phương trình $f\left( x \right)=0$ có duy nhất nghiệm $x=\frac{3}{2}$. Kết luận $S=\left\{ \frac{3}{2} \right\}$.

b) Điều kiện $5{{x}^{3}}\ge 1$.

Xét hàm số $f\left( x \right)=\sqrt{5{{x}^{3}}-1}+\sqrt[3]{2x-1}+x;\text{ }x\in \left[ \sqrt[3]{\frac{1}{5}};+\infty  \right)$.

Ta có ${f}'\left( x \right)=\frac{15{{x}^{2}}}{2\sqrt{5{{x}^{3}}-1}}+\frac{2}{3\sqrt[3]{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}}>0,\text{ }\forall x\in \left[ \sqrt[3]{\frac{1}{5}};+\infty  \right)$ nên hàm số đồng biến trên $\left[ \sqrt[3]{\frac{1}{5}};+\infty  \right)$.

Bài toán trở thành $f\left( x \right)=f\left( 1 \right)\Leftrightarrow x=1$. Kết luận tập nghiệm $S=\left\{ 1 \right\}$.

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện $x\in \mathbb{R}$.

Phương trình đã cho tương đương với

$\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x-1+2\left( x+1 \right)=-{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-19x+11+2\sqrt[3]{-{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-19x+11}$

$\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{3}}+2\left( x-1 \right)=-{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-19x+11+2\sqrt[3]{-{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-19x+11}\text{     }\left( * \right)$

Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+2t$ ta có ${f}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+2>0,\text{ }\forall t\in \mathbb{R}$.

Do vậy hàm số $f\left( t \right)$ liên tục và đồng biến trên $\mathbb{R}$. Khi đó

$\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( x-1 \right)=f\left( \sqrt[3]{-{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-19x+11} \right)\Leftrightarrow x-1=\sqrt[3]{-{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-19x+11}$

$\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x-1=-{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-19x+11\Leftrightarrow {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+11x-6=0\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)=0$

$\Rightarrow x\in \left\{ 1;2;3 \right\}$.

Kết luận tập hợp nghiệm $S=\left\{ 1;2;3 \right\}$.

b) Điều kiện $x\ge -\frac{1}{3}$. Phương trình đã cho tương đương với

${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x+1+x+1=\left( 3x+1+1 \right)\sqrt{3x+1}\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{3}}+x+1=\left( 3x+1 \right)\sqrt{3x+1}+\sqrt{3x+1}$

Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+t,\text{ }t\in \mathbb{R}\Rightarrow {f}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+1>0,\text{ }\forall t\in \mathbb{R}$, hàm số liên tục và đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Thu được $f\left( x+1 \right)=f\left( \sqrt{3x+1} \right)\Leftrightarrow x+1=\sqrt{3x+1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x\ge -1 \\  {} {{x}^{2}}+2x+1=3x+1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x\in \left\{ 0;1 \right\}$

Đối chiếu điều kiện, kết luận phương trình đã cho có hai nghiệm $x=0;\text{ }x=1$.

Lời giải chi tiết

Điều kiện $\left\{ \begin{array}  {} 2x+1\ge 0 \\  {} x+3\ge 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x\ge -\frac{1}{2}$, ta có phương trình đã cho

$\Leftrightarrow \frac{\left( x-1 \right)\left( x+4 \right)}{\sqrt{2x+1}+2}=\frac{\left( x-1 \right)\left( 2x+2 \right)}{\sqrt{x+3}+2}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=1 \\  {} \frac{\left( x+4 \right)}{\sqrt{2x+1}+2}=\frac{\left( 2x+2 \right)}{\sqrt{x+3}+2}\text{     }\left( * \right) \\ \end{array} \right.$

Giải phương trình (*), chúng ta có

$\left( * \right)\Leftrightarrow \frac{x+3+1}{\sqrt{2x+1}+2}=\frac{2x+1+1}{\sqrt{x+3}+2}\Leftrightarrow \left( x+3+1 \right)\left( \sqrt{x+3}+2 \right)=\left( 2x+1+1 \right)\left( \sqrt{2x+1}+2 \right)$

$\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{x+3} \right)}^{3}}+2{{\left( \sqrt{x+3} \right)}^{2}}+\sqrt{x+3}={{\left( \sqrt{2x+1} \right)}^{3}}+2{{\left( \sqrt{2x+1} \right)}^{2}}+\sqrt{2x+1}$

Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+2{{t}^{2}}+t$, với điều kiện $t\ge 0$ vì $\left\{ \begin{array}  {} \sqrt{x+3}\ge 0 \\  {} \sqrt{2x+1}\ge 0 \\ \end{array} \right.$, có

${f}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+4t+1>0,\text{ }\forall t\ge 0$ do đó $f\left( t \right)$ là hàm số đồng biến và liên tục trên $\left[ 0;+\infty  \right)$ nên suy ra

$f\left( \sqrt{x+3} \right)=f\left( \sqrt{2x+1} \right)\Leftrightarrow \sqrt{x+3}=\sqrt{2x+1}\Leftrightarrow x=2$.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm $x=1;\text{ }x=2$.

Lời giải chi tiết

Điều kiện $x\ge -3$. Phương trình đã cho tương đương với

$\frac{\left( x+2 \right)\left( x+4 \right)}{{{x}^{2}}-2x+2}=\frac{x\left( x+2 \right)}{\sqrt{x+3}+1}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=-2 \\  {} \frac{\left( x+4 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+1}=\frac{x}{\sqrt{x+3}+1}\text{     }\left( 1 \right) \\ \end{array} \right.$

Đặt $\sqrt{x+3}=u;\text{ }x-1=v$ ta thu được $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \frac{{{u}^{2}}+1}{{{v}^{2}}+1}=\frac{v+1}{u+1}\Leftrightarrow {{u}^{3}}+{{u}^{2}}+u={{v}^{3}}+{{v}^{2}}+v$.

Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+{{t}^{2}}+t;\text{ }t\in \mathbb{R}\Rightarrow {f}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+2t+1>0,\text{ }\forall t\in \mathbb{R}$.

Hàm số liên tục và đồng biến trên tập số thực nên

$f\left( u \right)=f\left( v \right)\Leftrightarrow u=v\Leftrightarrow \sqrt{x+3}=x-1\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x\ge 1 \\  {} x+3={{x}^{2}}-2x+1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x\ge 1 \\  {} {{x}^{2}}-3x-2=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$.

Kết luận bài toán có nghiệm duy nhất $x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$.

Lời giải chi tiết

Điều kiện $x\le \frac{3}{4},y\le \frac{5}{2}$.

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương $\left( 4{{x}^{2}}+1 \right)2x=\left( 5-2y+1 \right)\sqrt{5-2y}\text{     }\left( 1 \right)$

Khi đó phương trình (1) có dạng: $f\left( 2x \right)=f\left( \sqrt{5-2y} \right)$ với $f\left( t \right)=\left( {{t}^{2}}+1 \right)t={{t}^{3}}+t\left( t\in \mathbb{R} \right)$

Ta có: ${f}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+1>0\text{ }\left( \forall t\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Do đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow 2x=\sqrt{5-2y}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x\ge 0 \\  {} y=\frac{5-4{{x}^{2}}}{2} \\ \end{array} \right.$

Thế vào phương trình (2) ta được: $4{{x}^{2}}+{{\left( \frac{5}{2}-2{{x}^{2}} \right)}^{2}}+2\sqrt{3-4x}-7=0\text{     }\left( 3 \right)$

Do $x=0;\text{ }x=\frac{3}{4}$ không phải là nghiệm của phương trình

Xét hàm số $g\left( x \right)=4{{x}^{2}}+{{\left( \frac{5}{2}-2{{x}^{2}} \right)}^{2}}+2\sqrt{3-4x}-7$ trên khoảng $\left( 0;\frac{3}{4} \right)$.

Ta có: ${g}'\left( x \right)=8x-8x\left( 5-2{{x}^{2}} \right)-\frac{4}{\sqrt{3-4x}}=4x\left( 4{{x}^{2}}-3 \right)-\frac{4}{\sqrt{3-4x}}<0\Rightarrow g\left( x \right)$ nghịch biến.

Mặt khác $g\left( \frac{1}{2} \right)=0\Rightarrow \left( 3 \right)$ có nghiệm duy nhất $x=\frac{1}{2}\Rightarrow y=2$.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $\left( \frac{1}{2};2 \right)$

Lời giải chi tiết

Điều kiện: $x\le 6;\text{ }y\le 5;\text{ }2x+y+5\ge 0;\text{ }3x+2y+11\ge 0$.

Khi đó: $PT\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left( 20-3x \right)\sqrt{6-x}=\left( 17-3y \right)\sqrt{5-y}$

$\Leftrightarrow \left( \sqrt{6-x} \right)\left[ 3\left( 6-x \right)+2 \right]=\sqrt{5-y}\left[ 3\left( 5-y \right)+2 \right]$

Xét hàm $f\left( t \right)=t\left( 3{{t}^{2}}+2 \right)\left( t\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow \sqrt{6-x}=\sqrt{5-y}\Leftrightarrow y=x-1$

Thế vào PT(2) ta có: $2\sqrt{3x+4}+3\sqrt{5x+9}={{x}^{2}}+6x+13$.

$\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+x \right)\left( \frac{2}{2\sqrt{3x+4}+2x+4}+\frac{3}{3\sqrt{5x+9}+3x+9}+1 \right)=0$.

Do $x\in \left[ -\frac{4}{3};6 \right]\Rightarrow x=0;x=-1$.

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm $\left( 0;-1 \right);\left( -1;-2 \right)$.

Lời giải chi tiết

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}  {} y\ge -1 \\  {} x>-1 \\ \end{array} \right.$. Ta có: $PT\left( 1 \right)\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{x+1}}+\frac{x}{\left( x+1 \right)\sqrt{x+1}}=\left( y+2 \right)\sqrt{y+1}$

$\Leftrightarrow \frac{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x}{\left( x+1 \right)\sqrt{x+1}}=\left( y+2 \right)\sqrt{y+1}\Leftrightarrow {{\left( \frac{x}{\sqrt{x+1}} \right)}^{3}}+\frac{x}{\sqrt{x+1}}={{\left( \sqrt{y+1} \right)}^{3}}+\sqrt{y+1}$

Xét hàm số: $f\left( t \right)={{t}^{3}}+t\left( t\in \mathbb{R} \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Ta có: $f\left( \frac{x}{\sqrt{x+1}} \right)=f\left( \sqrt{y+1} \right)\Leftrightarrow x=\sqrt{\left( x+1 \right)\left( y+1 \right)}$ thế vào PT(2) ta có:

$\frac{x\left( {{x}^{2}}-2x-2 \right)}{\sqrt{x+1}}=4\left( x+1 \right)\Leftrightarrow {{x}^{3}}-2x\left( x+1 \right)-4\left( x+1 \right)\sqrt{x+1}=0$

Đặt $z=\sqrt{x+1}$ ta có: ${{x}^{3}}+2x{{z}^{2}}-4{{z}^{3}}=0\Leftrightarrow x=2z$

$\Leftrightarrow x=2\sqrt{x+1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x\ge 0 \\  {} {{x}^{2}}=4x+4 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=2\pm 2\sqrt{2}\Rightarrow y=3$.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\left( x;y \right)=\left( 2\pm 2\sqrt{2};3 \right)$.

Lời giải chi tiết

Điều kiện: $x\ge -2;y\ge -\frac{1}{2}$. Khi đó ta có: $\left( 1 \right)-\left( 2 \right)$ ta có: ${{x}^{2}}+4x+3+\sqrt{x+2}=4{{y}^{2}}+4y+\sqrt{2y+1}$

$\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}+\sqrt{x+2}={{\left( 2y+1 \right)}^{2}}+\sqrt{2y+1}$. Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{2}}+\sqrt{t}$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty  \right)$.

Khi đó ta có: $f\left( x+2 \right)=f\left( \sqrt{2y+1} \right)\Leftrightarrow x+1=2y$ thế vào PT(2) ta có:

${{\left( 2y-1 \right)}^{2}}+2{{y}^{2}}-2\left( 2y-1 \right)+y=2\Leftrightarrow 6{{y}^{2}}-7y+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} y=1;\text{ }x=1 \\  {} y=\frac{1}{6};\text{ }x=-\frac{2}{3} \\ \end{array} \right.$.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: $\left( 1;1 \right);\left( -\frac{2}{3};\frac{1}{6} \right)$.

Lời giải chi tiết

Đặt $\sqrt[3]{m+3\sin x}=a;\text{ }\sin x=b$ ta có: $\left\{ \begin{array}  {} \sqrt[3]{m+3a}=b \\  {} \sqrt[3]{m+3b}=a \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m+3a={{b}^{3}} \\  {} m+3b={{a}^{3}} \\ \end{array} \right.$

$\Rightarrow 3\left( a-b \right)={{b}^{3}}-{{a}^{3}}=\left( b-a \right)\left( {{b}^{2}}+ba+{{a}^{2}} \right)\Leftrightarrow \left( b-a \right)\left( {{b}^{2}}+ba+{{a}^{2}}+3 \right)=0$

Do ${{b}^{2}}+ab+{{a}^{2}}+3>0\Rightarrow a=b\Rightarrow m+3\sin x={{\sin }^{3}}x\Leftrightarrow m={{\sin }^{3}}x-3\sin x={{b}^{3}}-3b=f\left( b \right)$.

Xét $f\left( b \right)={{b}^{3}}-3b\left( b\in \left[ -1;1 \right] \right)$ ta có: ${f}'\left( b \right)=3{{b}^{2}}-3\le 0\left( \forall b\in \left[ -1;1 \right] \right)$.

Do đó hàm số $f\left( b \right)$ nghịch biến trên $\left[ -1;1 \right]$.

Vậy $f\left( b \right)\in \left[ f\left( 1 \right);f\left( -1 \right) \right]=\left[ -2;2 \right]$. Do đó PT đã cho có nghiệm $\Leftrightarrow m\in \left[ -2;2 \right]$ .

Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Điều kiện: $\sin x\ge 0$

Đặt $\left\{ \begin{array}  {} u=\sin x \\  {} v=2\sqrt{m+2\sin x} \\ \end{array} \right.\text{ }\left( u,v\ge 0 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} \sqrt{m+2v}=u \\  {} \sqrt{m+2u}=v \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m+2v={{u}^{2}} \\  {} m+2u={{v}^{2}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow 2\left( v-u \right)={{u}^{2}}-{{v}^{2}}$

$\Leftrightarrow 2\left( v-u \right)=\left( u-v \right)\left( u+v \right)\Leftrightarrow \left( u-v \right)\left( u+v+2 \right)=0\text{  }\left( * \right)$

Do $u,\text{ }v\ge 0$ nên $\left( * \right)\Leftrightarrow u=v\Rightarrow m={{u}^{2}}-2u$ với $u=\sin x\text{ }\left( u\in \left[ 0;1 \right] \right)$.

Xét $f\left( u \right)={{u}^{2}}-2u\text{ }\left( u\in \left[ 0;1 \right] \right)$ ta có ${f}'\left( u \right)=2u-2\le 0$.

Suy ra hàm số $f\left( u \right)$ nghịch biến trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$.

Mặt khác $f\left( 0 \right)=0;f\left( 1 \right)=-1\Rightarrow $ Phương trình có nghiệm khi $m\in \left[ -1;0 \right]$.

Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow \left[ \begin{array}  {} m=0 \\  {} m=-1 \\ \end{array} \right.$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Điều kiện $0\le x\le 4$. Khi đó $PT\Leftrightarrow m=\frac{x\sqrt{x}+\sqrt{x+12}}{\sqrt{5-x}+\sqrt{4-x}}$

Xét hàm số $f\left( x \right)=g\left( x \right).h\left( x \right)$ trong đó $g\left( x \right)=x\sqrt{x}+\sqrt{x+12};h\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{5-x}+\sqrt{4-x}}$

Ta có: $g\left( x \right)>0;h\left( x \right)>0\left( \forall x\in \left[ 0;4 \right] \right)$

Mặt khác ${g}'\left( x \right)=\frac{3}{2}\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x+12}}>0;{h}'\left( x \right)=\frac{\frac{1}{2\sqrt{5-x}}+\frac{1}{2\sqrt{4-x}}}{{{\left( \sqrt{5-x}+\sqrt{4-x} \right)}^{2}}}>0$

Do đó 2 hàm số $g\left( x \right)$ và $h\left( x \right)$ luôn dương và đồng biến do đó hàm số $f\left( x \right)=g\left( x \right).h\left( x \right)$ cũng luôn dương và đồng biến trên $\left[ 0;4 \right]$, $f\left( 0 \right)=\frac{2\sqrt{3}}{2+\sqrt{5}};f\left( 4 \right)=12\Rightarrow \left( 1 \right)$ có nghiệm khi và chỉ khi $m\in \left[ \frac{2\sqrt{3}}{2+\sqrt{5}};12 \right]$. Do đó $A=\left\{ m\in \mathbb{Z}\left| \left( 1 \right)\text{ co }\!\!\grave{\mathrm{u}}\!\!\text{  nghie }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ m} \right. \right\}$ có 12 phần tử. Chọn A.