Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số là gì? Định lý, định nghĩa

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số là gì? Định lý, định nghĩa

1) Định lí: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ a;b \right].$ Giả sử hàm số $x=\varphi \left( t \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ \alpha ;\beta  \right]$ sao cho $\varphi \left( \alpha  \right)=a;\varphi \left( \beta  \right)=b$ và $a\le \varphi \left( t \right)\le b$ với mọi $t\in \left[ \alpha ;\beta  \right].$

Khi đó $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}dx=\int\limits_{\alpha }^{\beta }{f\left( \phi \left( t \right) \right)}\varphi '\left( t \right)dt.$

Chú ý: Trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng phép biến đổi biến số ở dạng sau:

— Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ a;b \right].$ Để tính $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}dx$, đôi khi ta chọn hàm số $u=u\left( x \right)$ làm biến số mới, trong đó trên đoạn $\left[ a;b \right],u\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục và $u\left( x \right)\in \left[ \alpha ;\beta  \right].$

— Giả sử có thể viết $f\left( x \right)=g\left( u\left( x \right) \right)u'\left( x \right),x\in \left[ a;b \right],$ với $g\left( u \right)$ liên tục trên đoạn$\left[ \alpha ;\beta  \right].$

Khi đó, ta có $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}dx=\int\limits_{u\left( a \right)}^{u\left( b \right)}{g\left( u \right)}du.$