Hệ phương trình đối xứng

1. Các kiến thức cần nhớ

a. Hệ phương trình đối xứng loại $1$

+ Một hệ phương trình ẩn $x,y$ được gọi là hệ phương trình đối xứng loại $1$  nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của $x,y$ cho nhau thì phương trình đó không đổi .

+ Tính chất: Nếu $\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ là một nghiệm thì hệ $\left( {{y_0},{x_0}} \right)$ cũng là nghiệm.

Ví dụ:  Giải hệ phương trình  $\left\{ \begin{array}{l}x + y + xy = 5\\{x^2} + {y^2} = 5\end{array} \right.$

Giải: 

+ Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + xy = 5\\{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = 5\end{array} \right.\)

+ Đặt \(S = x + y;P = xy\) ta được hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}S + P = 5\\{S^2} - 2P = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = 5 - S\\{S^2} - 2\left( {5 - S} \right) = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = 5 - S\\{S^2} + 2S - 15 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = 5 - S\\\left[ \begin{array}{l}S = 3\\S =  - 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}S = 3\\P = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}S =  - 5\\P = 10\end{array} \right.\end{array} \right.\)  mà \({S^2} \ge 4P\) nên \(S = 3;P = 2\)

+ Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}xy = 2\\x + y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - x\\x\left( {3 - x} \right) - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - x\\{x^2} - 3x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1;y = 2\\x = 2;y = 1\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm $(1;2), (2;1)$

b. Phương trình đối xứng loại $2$

Một hệ phương trình $2$ ẩn \(x,y\) được gọi là đối xứng loại $2$  nếu trong hệ phương trình ta đổi vai trò \(x,y\) cho nhau thì phương trình trở thành phương trình kia.

+ Tính chất.: Nếu \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là 1 nghiệm của hệ thì \(\left( {{y_0};{x_0}} \right)\) cũng là nghiệm

+ Cách giải:

Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được một phương trình có dạng

\(\left( {x - y} \right)\left[ {f\left( {x;y} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y = 0\\f\left( {x;y} \right) = 0\end{array} \right.\).

Ví dụ: Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 3x - y\\{y^2} = 3y - x\end{array} \right.$

Giải: 

Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 3x - y\\{y^2} = 3y - x\end{array} \right.$\( \Rightarrow {x^2} - {y^2} = 4x - 4y\)\( \Rightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y - 1} \right) = 0\)

Khi \(x = y\) thì \({x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = 2\)

Khi \(y = 4 - x\) thì \({x^2} - 4x + 4 = 0\) \( \Leftrightarrow x = 2\)

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm \(\left( {0;0} \right),\left( {2;2} \right)\).

c. Hệ có yếu tố đẳng cấp

+ Là những hệ chứa các phương trình đẳng cấp

+ Hoặc các phương trình  của hệ khi nhân hoặc chia cho nhau thì tạo ra phương trình đẳng cấp.

Ta thường gặp dạng hệ này ở các hình thức như:

+ \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bxy + c{y^2} = d\\{\rm{e}}{{\rm{x}}^2} + gxy + h{y^2} = k\end{array} \right.\) ,

+ \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bxy + c{y^2} = dx + ey\\{\rm{g}}{{\rm{x}}^2} + hxy + k{y^2} = lx + my\end{array} \right.,\)

+ \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bxy + c{y^2} = d\\{\rm{g}}{{\rm{x}}^3} + h{x^2}y + kx{y^2} + l{y^3} = mx + ny\end{array} \right.\)…

Một số hệ phương trình tính đẳng cấp được giấu trong các biểu thức chứa căn đòi hỏi người giải cần tinh ý để phát hiện:

+ Cách giải :

Từ các phương trình của hệ ta nhân hoặc chia cho nhau để tạo ra phương trình đẳng cấp bậc \(n\): \({a_1}{x^n} + {a_k}{x^{n - k}}.{y^k}.... + {a_n}{y^n} = 0\)

Từ đó ta xét hai trường hợp:

+ \(y = 0\) thay vào để tìm \(x\)

+ \(y \ne 0\) ta đặt \(x = ty\) thì thu được phương trình: \({a_1}{t^n} + {a_k}{t^{n - k}}.... + {a_n} = 0\)

+ Giải phương trình tìm \(t\) sau đó thế vào hệ ban đầu để tìm \(x,y\).

Chú ý: Ta cũng có thể đặt \(y = tx\).

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Giải hệ phương trình

Phương pháp:

Ta dùng các cách giải của hệ phương trình đối xứng loại 1, hệ đối xứng loại 2 và hệ phương trình có yếu tố đẳng cấp

Dạng 2: Xét xem cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) có là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}y = f\left( x \right)\\y = g\left( x \right)\end{array} \right.\)  hay không?

Phương pháp:

\(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}y = f\left( x \right)\\y = g\left( x \right)\end{array} \right.\)khi \(\left\{ \begin{array}{l}{y_0} = f\left( {{x_0}} \right)\\{y_0} = g\left( {{x_0}} \right)\end{array} \right.\)

Dạng 3: Tìm tham số \(m\) để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp:

Ta sử dụng linh hoạt các phương pháp giải hệ phương trình đã học để giải bài toán.