Skip to main content
Đáp án đề thi THPT Quốc Gia 2024

Khái niệm đạo hàm

Khái niệm đạo hàm

1. Đạo hàm của hàm số tại một điểm

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\left( {a;b} \right)\) và điểm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\).

Định nghĩa: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là có đạo hàm tại \(x = {x_0}\), kí hiệu \(f'\left( {{x_0}} \right)\) nếu giới hạn

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = f'\left( {{x_0}} \right)$ tồn tại hữu hạn.

Ở đó,   \(\Delta x = x - {x_0}\) là số gia của biến số tại điểm \({x_0}\).

\(\Delta y = f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right) = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\) là số gia của hàm số.

Ta thường hay sử dụng công thức \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\) để tính số gia của hàm số ứng với số gia \(\Delta x\) tại điểm \({x_0}\).

Ví dụ: Tính số gia của hàm số \(y = {x^2}\) ứng với số gia \(\Delta x\) của biến số tại điểm \({x_0} =  - 2\).

Ta có: \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) = {\left( {{x_0} + \Delta x} \right)^2} - x_0^2 = x_0^2 + 2{x_0}.\Delta x + {\left( {\Delta x} \right)^2} - x_0^2 = {\left( {\Delta x} \right)^2} + 2{x_0}.\Delta x\)

Vậy tại \({x_0} =  - 2\) thì \(\Delta y = {\left( {\Delta x} \right)^2} + 2{x_0}.\Delta x = {\left( {\Delta x} \right)^2} + 2\left( { - 2} \right).\Delta x = {\left( {\Delta x} \right)^2} - 4\Delta x\).

2. Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số tại một điểm

Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa:

- Bước 1: Tính \(f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)\)

- Bước 2: Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) 

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số \(y = {x^2}\) tại điểm \({x_0} =  - 2\).

- Bước 1: Ta có: \(f\left( x \right) - f\left( { - 2} \right) = {x^2} - {\left( { - 2} \right)^2} = {x^2} - 4\)

- Bước 2:

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - \left( { - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \dfrac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \left( {x - 2} \right) =  - 2 - 2 =  - 4\)

Vậy \(f'\left( { - 2} \right) =  - 4\).

Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \({x_0}\) thì nó liên tục tại điểm \({x_0}\).

Ngược lại, hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0}\) thì chưa chắc đã có đạo hàm tại \({x_0}\).

Ví dụ: Xét hàm số \(y = \left| x \right|\) liên tục tại \({x_0} = 0\).

Tính: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left| x \right| - 0}}{{x - 0}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left| x \right|}}{x}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{x}{x} = 1;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{x}{x} =  - 1 \) \(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x}\)

Vậy không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left| x \right|}}{x}\).

Do đó không tồn tại đạo hàm của hàm số tại \(x = 0\).

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

Tổng ôn tập MÔN TOÁN Lớp 11