Biết rằng 1^2 dx^3 - 1x^2 + xdx = a + bln 3 + cln 2 vớ

Lời giải của Luyện Tập 247

Phương pháp giải:

- Chia tử cho mẫu để đưa biểu thức dưới dấu tích phân về dạng đa thức + phân thức hữu tỉ có bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu.

- Phân tích mẫu thành nhân tử, biến đổi để xuất hiện các tích phân dạng (intlimits_1^2 {dfrac{k}{{ax + b}}dx} ).

- Tính tích phân và tìm (a,,,b,,,c)

Giải chi tiết:

Ta có:

(begin{array}{l}intlimits_1^2 {dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} + x}}dx}  = intlimits_1^2 {left( {x - 1 + dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + x}}} right)dx} \ = intlimits_1^2 {left( {x - 1} right)dx}  + intlimits_1^2 {dfrac{{x - 1}}{{xleft( {x + 1} right)}}dx} \ = dfrac{1}{2} + Iend{array})

Giả sử (dfrac{{x - 1}}{{xleft( {x + 1} right)}} = dfrac{B}{x} + dfrac{C}{{x + 1}})

(begin{array}{l} Leftrightarrow dfrac{{x - 1}}{{xleft( {x + 1} right)}} = dfrac{{Bleft( {x + 1} right) + Cx}}{{xleft( {x + 1} right)}}\ Leftrightarrow dfrac{{x - 1}}{{xleft( {x + 1} right)}} = dfrac{{left( {B + C} right)x + B}}{{xleft( {x + 1} right)}}\ Rightarrow left{ begin{array}{l}B + C = 1\B =  - 1end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}B =  - 1\C = 2end{array} right.end{array})

Khi đó ta có

(begin{array}{l}I = intlimits_1^2 {dfrac{{x - 1}}{{xleft( {x + 1} right)}}dx}  = intlimits_1^2 {dfrac{{ - 1}}{x}dx}  + intlimits_1^2 {dfrac{2}{{x + 1}}dx} \,,,, = left. { - ln left| x right|} right|_1^2 + left. {2ln left| {x + 1} right|} right|_1^2\,,,, =  - ln 2 + 2ln 3 - 2ln 2\,,,, = 2ln 3 - 3ln 2end{array})

( Rightarrow intlimits_1^2 {dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} + x}}dx}  = dfrac{1}{2} + 2ln 3 - 3ln 2) ( Rightarrow left{ begin{array}{l}a = dfrac{1}{2}\b = 2\c =  - 3end{array} right.).

Vậy (2a + 3b - 4c = 2.dfrac{1}{2} + 3.2 - 4.left( { - 3} right) = 19).

Chọn D.