Cho các mệnh đề sai     1 Hàm số y = sin x và y = cos x

Lời giải của Luyện Tập 247

Phương pháp giải:

- Mệnh đề (1): Sử dụng đồ thị hàm số.

- Mệnh đề (2), (3): Xét phương trình hoành độ giao điểm.

- Mệnh đề 4: Sử dụng tính chất “sin bù”.

Giải chi tiết:

Xét mệnh đề (1): Ta có đồ thị hàm số (y = sin x) và (y = cos x) như sau:

Đồ thị hàm số (y = sin x):

Đồ thị hàm số (y = cos x):

Hai hàm số này cùng đồng biến trên (left( {dfrac{{3pi }}{2};2pi } right)). Do đó mệnh đề (1) đúng.

Xét mệnh đề (2): Phương trình hoành độ giao điểm: (2019sin x + 10cos x = 0) ( Leftrightarrow tan x =  - dfrac{{10}}{{2019}}).

Do đó phương trình này có vô số nghiệm, nên mệnh đề (2) đúng.

Xét mệnh đề (3): Phương trình hoành độ giao điểm:

(tan x = cot x Leftrightarrow tan x = dfrac{1}{{tan x}})( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}tan x = 1\tan x =  - 1end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l}x = dfrac{pi }{4} + kpi \x =  - dfrac{pi }{4} + kpi end{array} right.,,left( {k in mathbb{Z}} right)) .

+ Xét họ nghiệm (x = dfrac{pi }{4} + kpi ).

(0 < dfrac{pi }{4} + kpi  < pi  Leftrightarrow  - dfrac{1}{4} < k < dfrac{3}{4},,,k in mathbb{Z}) ( Rightarrow k = 0 Rightarrow x = dfrac{pi }{4}).

+ Xét họ nghiệm (x =  - dfrac{pi }{4} + kpi ).

(0 <  - dfrac{pi }{4} + kpi  < pi  Leftrightarrow dfrac{1}{4} < k < dfrac{5}{4},,,k in mathbb{Z}) ( Rightarrow k = 1 Rightarrow x = dfrac{{3pi }}{4}).

Vậy đồ thị hàm số (y = tan x) và (y = cot x) trên khoảng (left( {0;pi } right)) có 2 điểm chung, do đó mệnh đề (3) sai.

Xét mệnh đề (4):

Ta có: (tan left( {pi  - x} right) =  - tan x,,,cot left( {pi  - x} right) =  - cot x,,,sin left( {pi  - x} right) = sin x).

Trên khoảng (left( {pi ;dfrac{{3pi }}{2}} right)) ta có: (left{ begin{array}{l}tan x > 0 Leftrightarrow  - tan x 0 Leftrightarrow  - cot x < 0\sin x < 0end{array} right.).

Do đó mệnh đề (4) đúng.

Vậy có 1 mệnh đề sai.

Chọn D.