Cho Delta ABC vuông tại A AB lt AC đường cao AH trung

Lời giải của Luyện Tập 247

Phương pháp giải:

a) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh đẳng thức.

b) Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng tương ứng rồi suy ra (AM bot DE.)

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh đẳng thức cần chứng minh.

c) Sử dụng hệ thức lượng để tính các cạnh bài toán yêu cầu.

Giải chi tiết:

a) Chứng minh (AD.AB = AE.AC.)

Ta có: (D,,,E) lần lượt là hình chiếu vuông góc của (H) trên (AB,,,AC)

(left{ begin{array}{l}HD bot AB = left{ D right}\HE bot AC = left{ E right}end{array} right.) ( Rightarrow angle BDH = angle HEC = {90^0})

Áp dụng hệ thức lượng trong (Delta ABH) vuông tại (H,) có đường cao (HD) ta có: (A{H^2} = AD.AB)

Áp dụng hệ thức lượng trong (Delta ACH) vuông tại (H,) có đường cao (HE) ta có: (A{H^2} = AE.AC)

( Rightarrow AD.AB = AE.AC,,left( { = A{H^2}} right),,,left( {dpcm} right).)

b) Chứng minh (AM bot DE) và (A{H^3} = DK.A{B^2}.)

Ta có: (AD.AB = AE.AC,,,left( {cmt} right)) ( Rightarrow dfrac{{AD}}{{AC}} = dfrac{{AE}}{{AB}})

Xét (Delta ADE) và (Delta ACB) ta có:

(begin{array}{l}dfrac{{AD}}{{AC}} = dfrac{{AE}}{{AB}},,,left( {cmt} right)\angle A,,,chung\ Rightarrow angle Delta ADE sim Delta ACB,,,left( {g - c - g} right)end{array})

( Rightarrow left{ begin{array}{l}angle ADE = angle ACB\angle AEB = angle ABDend{array} right.) (các cặp góc tương ứng)

Ta có: (AM) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của (Delta ABC) vuông tại (A)

( Rightarrow AM = MB = MC,,left( { = dfrac{1}{2}BC} right)) (tính chất)

( Rightarrow Delta MAC) cân tại (M) (định nghĩa)

( Rightarrow angle MAC = angle MCA) hay (angle KAE = angle ACB) ( Rightarrow angle KAE = angle ADE,,left( { = angle ACB} right))

Xét (Delta ADE) vuông tại (A) ta có: (angle ADE + angle AED = {90^0})

( Rightarrow angle KAE + angle AED = {90^0}) hay (angle KAE + angle KEA = {90^0})

( Rightarrow Delta AKE) vuông tại (K) hay (AM bot DE = left{ K right},,,left( {dpcm} right).)

+) Chứng minh: (A{H^3} = DK.A{B^2}.)

Xét tứ giác (ADHE) ta có: (angle A = angle D = angle E = {90^0})

( Rightarrow ADHE) là hình chữ nhật (dhnb)

( Rightarrow AH = DE) (tính chất hình chữ nhật)

Áp dụng hệ thức lượng trong (Delta ADE) vuông tại (A,) có đường cao (AK) ta có:

(A{D^2} = DK.DE = DK.AH,,left( {AH = DE} right))

( Rightarrow DK = dfrac{{A{D^2}}}{{AH}}.)

( Rightarrow DK.A{B^2} = dfrac{{A{D^2}}}{{AH}}.A{B^2}) ( = dfrac{{{{left( {AD.AB} right)}^2}}}{{AH}} = dfrac{{{{left( {A{H^2}} right)}^2}}}{{AH}} = A{H^3},,,left( {dpcm} right))

c) Biết (HB = 3cm,,,HC = 7cm.) Tính (AB,,,AC,,,DE) và (sqrt[3]{{B{D^2}}} + sqrt[3]{{C{E^2}}}.)

Ta có: (BC = BH + HC = 3 + 7 = 10,,cm.)

Áp dụng hệ thức lượng trong (Delta ABC) vuông tại (A,) có đường cao (AH) ta có:

(A{H^2} = HB.HC = 3.7 = 21,) ( Rightarrow AH = sqrt {21} ,,cm) ( Rightarrow DE = AH = sqrt {21} ,,cm.)

(A{B^2} = BH.BC = 3.10 = 30) ( Rightarrow AB = sqrt {30} ,,cm.)

(A{C^2} = HC.BC = 7.10 = 70) ( Rightarrow AC = sqrt {70} ,,cm.)

Áp dụng hệ thức lượng trong (Delta ABH) vuông tại (H,) có đường cao (HD) ta có:

(B{H^2} = BD.BA) ( Rightarrow BD = dfrac{{B{H^2}}}{{BA}} = dfrac{{{3^2}}}{{sqrt {30} }} = dfrac{{3sqrt {30} }}{{10}},,cm.)

Áp dụng hệ thức lượng trong (Delta AHC) vuông tại (H,) có đường cao (HE) ta có:

(C{H^2} = CE.CA) ( Rightarrow CE = dfrac{{C{H^2}}}{{CA}} = dfrac{{{7^2}}}{{sqrt {70} }} = dfrac{{7sqrt {70} }}{{10}},,cm.)

(begin{array}{l} Rightarrow sqrt[3]{{B{D^2}}} + sqrt[3]{{C{E^2}}} = sqrt[3]{{{{left( {dfrac{{3sqrt {30} }}{{10}}} right)}^2}}} + sqrt[3]{{{{left( {dfrac{{7sqrt {70} }}{{10}}} right)}^2}}}\,, = sqrt[3]{{dfrac{{27}}{{10}}}} + sqrt[3]{{dfrac{{343}}{{10}}}} = dfrac{3}{{sqrt[3]{{10}}}} + dfrac{7}{{sqrt[3]{{10}}}}\,, = dfrac{{10}}{{sqrt[3]{{10}}}} = sqrt[3]{{dfrac{{{{10}^3}}}{{10}}}} = sqrt[3]{{100}}.end{array})