Cho hàm số y =  - x^3 + 4x^2 + 1 có đồ thị là C và đi

Lời giải của Luyện Tập 247

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (y = fleft( x right)) tại điểm có hoành độ ({x_0}) là:

(y = f'left( {{x_0}} right)left( {x - {x_0}} right) + fleft( {{x_0}} right)).

Giải chi tiết:

(y =  - {x^3} + 4{x^2} + 1 Rightarrow y' =  - 3{x^2} + 8x).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ ({x_0}) là:

(y = left( { - 3x_0^2 + 8{x_0}} right)left( {x - {x_0}} right) - x_0^3 + 4x_0^2 + 1{mkern 1mu} {mkern 1mu} left( d right))

(begin{array}{*{20}{l}}{Mleft( {m;1} right) in left( d right) Rightarrow 1 = left( { - 3x_0^2 + 8{x_0}} right)left( {m - {x_0}} right) - x_0^3 + 4x_0^2 + 1}\{ Leftrightarrow  - 3mx_0^2 + 8m{x_0} + 3x_0^3 - 8x_0^2 - x_0^3 + 4x_0^2 = 0}\{ Leftrightarrow 2x_0^3 - left( {3m + 4} right)x_0^2 + 8m{x_0} = 0}\{ Leftrightarrow {x_0}left[ {2x_0^2 - left( {3m + 4} right){x_0} + 8m} right] = 0}\{ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = 0}\{2x_0^2 - left( {3m + 4} right){x_0} + 8m = 0{mkern 1mu} {mkern 1mu} left( * right)}end{array}} right.}end{array})

Để qua (M) kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến đồ thị (left( C right)) thì phương trình (*) hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có nghiệm ({x_0} = 0) hoặc có nghiệm kép ({x_0} ne 0).

TH1: (*) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có nghiệm ({x_0} = 0).

( Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}{{{left( {3m + 4} right)}^2} - 64m > 0}\{8m = 0}end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}{m = 0}\{{4^2} > 0{mkern 1mu} {mkern 1mu} left( {luon{mkern 1mu} {mkern 1mu} dung} right)}end{array}} right. Leftrightarrow m = 0)

TH2: (*) có nghiệm kép ({x_0} ne 0).

( Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}{{{left( {3m + 4} right)}^2} - 64m = 0}\{8m ne 0}end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}{9{m^2} - 40m + 16 = 0}\{m ne 0}end{array}} right. Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}{m = 4}\{m = dfrac{4}{9}}end{array}} right.).

Vậy (S = left{ {0;4;dfrac{4}{9}} right}).

Chọn B.