Cho hàm số y = x^4 - 2mx^2 + m có đồ thị C với m là t

Lời giải của Luyện Tập 247

Phương pháp giải:

- Tìm tọa độ điểm (A), viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại (A).

- Tìm điểm cố định mà (Delta ) đi qua với mọi (m).

- Xác định tâm (I) và bán kính (R) của đường tròn (left( gamma  right):,,{left( {x - 1} right)^2} + {left( {y - 1} right)^2} = 4).

- Biện luận: Để (Delta ) cắt đường tròn (left( gamma  right)) theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất thì (dleft( {I;Delta } right)) phải lớn nhất. Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên tìm GTLN của (dleft( {I;Delta } right)), từ đó tìm (m).

Giải chi tiết:

Vì (A in left( C right)) và (A) có hoành độ bằng (1) nên ta có (Aleft( {1;1 - m} right)).

Ta có (y' = 4{x^3} - 4mx Rightarrow y'left( 1 right) = 4 - 4m).

Phương trình tiếp tuyến của (left( C right)) tại (A) là: (y = left( {4 - 4m} right)left( {x - 1} right) + 1 - m Leftrightarrow left( {4 - 4m} right)x - y - 3 + 3m = 0,,,left( Delta  right)).

Ta có:

(begin{array}{l}left( Delta  right):,,,,left( {4 - 4m} right)x - y - 3 + 3m = 0,,forall m\ Leftrightarrow left( { - 4x + 3} right)m + 4x - y - 3 = 0,,forall m\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} - 4x + 3 = 0\4x - y - 3 = 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = dfrac{3}{4}\y = 0end{array} right.end{array})

( Rightarrow ) Đường thẳng (Delta ) luôn đi qua điểm (Fleft( {dfrac{3}{4};0} right),,forall m).

Đường tròn (left( gamma  right):,,{left( {x - 1} right)^2} + {left( {y - 1} right)^2} = 4) có tâm (Ileft( {1;1} right)), bán kính (R = 2).

Để (Delta ) cắt đường tròn (left( gamma  right)) theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất thì (dleft( {I;Delta } right)) phải lớn nhất.

Ta có: (dleft( {I;Delta } right) le IF) (quan hệ đường vuông góc, đường xiên).

( Rightarrow d{left( {I;Delta } right)_{max }} = IF Leftrightarrow IF bot Delta ).

Ta có: (overrightarrow {IF}  = left( { - dfrac{1}{4}; - 1} right);,,overrightarrow {{u_Delta }}  = left( {1;4 - 4m} right)).

( Rightarrow overrightarrow {IF} .overrightarrow {{u_Delta }}  = 0 Rightarrow  - dfrac{1}{4}.1 - 1.left( {4 - 4m} right) = 0 Leftrightarrow m = dfrac{{17}}{{16}}).

Vậy để (Delta ) cắt đường tròn (left( gamma  right):,,{left( {x - 1} right)^2} + {left( {y - 1} right)^2} = 4) tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất thì (m = dfrac{{17}}{{16}}).

Chọn B.