Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a Mặt phẳng đi qu

Lời giải của Luyện Tập 247

Phương pháp giải:

- Chứng minh mặt phẳng đi qua A và vuông góc với A’C chính là (AB’D’).

- Xác định (AB’D’) chia khối chóp thành những phần nào và tính thể tích của chúng.

Giải chi tiết:

Gọi (left( alpha  right)) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với A’C.

Gọi (O' = A'C' cap B'D') và (I = AO' cap A'C).

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương cạnh a nên (AC = A'C' = asqrt 2 ;,,A'C = asqrt 3 ).

Áp dụng định lí Pytago ta có: (AO' = sqrt {AA{'^2} + A'O{'^2}}  = sqrt {{a^2} + dfrac{{{a^2}}}{2}}  = dfrac{{asqrt 6 }}{2}).

Áp dụng định lí Ta-lét ta có:

(begin{array}{l}dfrac{{AI}}{{IO'}} = dfrac{{AC}}{{A'O'}} = 2 Rightarrow AI = 2IO' = dfrac{2}{3}AO' = dfrac{{asqrt 6 }}{3}\dfrac{{A'I}}{{IC}} = dfrac{{A'O'}}{{AC}} = dfrac{1}{2} Rightarrow A'I = dfrac{1}{2}IC = dfrac{1}{3}A'C = dfrac{{asqrt 3 }}{3}end{array})

Xét tam giác AA’I có: (A{I^2} + A'{I^2} = dfrac{{2{a^2}}}{3} + dfrac{{{a^2}}}{3} = {a^2} = AA{'^2}), suy ra tam giác AA’I vuông tại I (Định lí Pytago đảo) ( Rightarrow AO' subset left( alpha  right) Rightarrow O' in left( alpha  right)).

Lại có (left{ begin{array}{l}B'D' bot A'C'\B'D' bot AA'end{array} right. Rightarrow B'D' bot left( {ACC'A'} right) Rightarrow B'D' bot A'C) ( Rightarrow B'D' subset left( alpha  right)).

( Rightarrow left( alpha  right) equiv left( {AB'D'} right)).

Mặt phẳng (left( {AB'D'} right)) chia khối lập phương thành 2 phần: Chóp A.A’B’D’ và khối đa diện B’C’D’.ABCD.

Ta có: ({V_{A.A'B'D'}} = dfrac{1}{3}AA'.{S_{A'B'D'}} = dfrac{1}{3}AA'.dfrac{1}{2}{S_{ABCD}} = dfrac{1}{6}{V_{ABCD.A'B'C'D'}})

( Rightarrow {V_{B'C'D'.ABCD}} = {V_{ABCD.A'B'C'D'}} - dfrac{1}{6}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = dfrac{5}{6}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}).

Vậy (k = dfrac{{{V_{A.A'B'D'}}}}{{{V_{B'C'D'.ABCD}}}} = dfrac{{dfrac{1}{6}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}}}{{dfrac{5}{6}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}}} = dfrac{1}{5}).

Chọn C.