Con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm lò xo nhẹ có độ cứng

Lời giải của Luyện Tập 247

Phương pháp giải:

+ Sử dụng biểu thức tính chu kì: (T = 2pi sqrt {dfrac{m}{k}} )

+ Sử dụng biểu thức tính cơ năng: ({rm{W}} = dfrac{1}{2}k{{rm{A}}^2} = {{rm{W}}_t} + {{rm{W}}_d})

+ Sử dụng biểu thức tính độ dãn của lò xo tại VTCB: (Delta l = dfrac{{mg}}{k})

+ Sử dụng biểu thức tính thời gian lò xo nén trong một chu kì: ({t_{nen}} = dfrac{{2alpha }}{omega }) với (cosalpha  = dfrac{{Delta {l_0}}}{A})

Giải chi tiết:

Ta có:

+ Chu kì dao động: (T = 2pi sqrt {dfrac{m}{k}}  = 0,4{rm{s}})

+ Tại thời điểm t:

({x_1} = Acosvarphi  Rightarrow {W_{{t_1}}} = dfrac{{kx_1^2}}{2} = dfrac{{k{A^2}}}{2}co{s^2}varphi  = 0,256J)

( Leftrightarrow dfrac{{k{A^2}}}{2}dfrac{{1 + cos2varphi }}{2} = 0,256J,,,left( 1 right))

+ Tại thời điểm (t{rm{ }} + {rm{ }}0,05s = t + dfrac{T}{8}):

 (begin{array}{l}{x_2} = Acosleft( {varphi  + dfrac{pi }{4}} right)\ Rightarrow {W_{{t_2}}} = W - {W_{{d_2}}} = dfrac{1}{2}k{A^2} - {W_{{d_2}}} = dfrac{{k{A^2}}}{2}co{s^2}left( {varphi  + dfrac{pi }{4}} right)end{array})

(begin{array}{l} Leftrightarrow dfrac{{k{A^2}}}{2} - 0,288 = dfrac{{k{A^2}}}{2}{left( {cosvarphi .cosdfrac{pi }{4} - sin varphi .sin dfrac{pi }{4}} right)^2}\ Leftrightarrow dfrac{{k{A^2}}}{2} - 0,288 = dfrac{{k{A^2}}}{2}dfrac{1}{2}{left( {cosvarphi  - sin varphi } right)^2}end{array})

( Leftrightarrow dfrac{{k{A^2}}}{2} - 0,288 = dfrac{{k{A^2}}}{4}left( {1 - sin 2varphi } right),,,left( 2 right))

Từ (1) và (2) ta có:

(begin{array}{l}left{ begin{array}{l}dfrac{{k{{rm{A}}^2}}}{4}left( {1 + co{rm{s2}}varphi } right) = 0,256\dfrac{{k{{rm{A}}^2}}}{4}left( {1 + sin 2varphi } right) = 0,288end{array} right.\ Rightarrow dfrac{{1 + sin 2varphi }}{{1 + co{rm{s2}}varphi }} = dfrac{{0,288}}{{0,256}} = dfrac{9}{8}\ Rightarrow 1 + 9co{rm{s2}}varphi  = 8sin 2varphi \ Leftrightarrow {left( {1 + 9co{rm{s2}}varphi } right)^2} = {left( {8sin 2varphi } right)^2} = 64left( {1 - co{s^2}2varphi } right)\ Leftrightarrow 145co{{rm{s}}^2}2varphi  + 18co{rm{s2}}varphi {rm{ - 63 = 0}}\ Rightarrow left[ begin{array}{l}co{rm{s2}}varphi  = dfrac{3}{5} Rightarrow {rm{W}} = 0,32Jleft( {tm} right)\co{rm{s2}}varphi  = dfrac{{ - 21}}{{29}} Rightarrow {rm{W}} = 1,856left( {loai} right)end{array} right.end{array})

Với ({rm{W}} = 0,32J = dfrac{1}{2}k{{rm{A}}^2} Rightarrow A = 0,08m)

Độ biến dạng của lò xo tại vị trí cân bằng:

 (Delta {l_0} = dfrac{{mg}}{k} = 0,04m)

Thời gian lò xo nén trong một chu kì:

({t_{nen}} = dfrac{{2alpha }}{omega }) với (cosalpha  = dfrac{{Delta {l_0}}}{A} = dfrac{{0,04}}{{0,08}} = dfrac{1}{2} Rightarrow alpha  = dfrac{pi }{3})

( Rightarrow {t_{nen}} = dfrac{{2dfrac{pi }{3}}}{{5pi }} = dfrac{2}{{15}}s)

Chọn B.