Rút gọn biểu thức M = d12 1  + 1 2 + d13 2  + 2 3 + d

Lời giải của Luyện Tập 247

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp trục căn thức ở mẫu, ta nhân của tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu:

+) (dfrac{1}{{sqrt A  - sqrt B }} = dfrac{{sqrt A  + sqrt B }}{{A - B}}) với (A ge 0,B ge 0,A ne B)

Giải chi tiết:

Với mọi (n in {mathbb{N}^ * }), ta có :

(dfrac{1}{{left( {n + 1} right)sqrt n  + nsqrt {n + 1} }} = dfrac{{left( {n + 1} right)sqrt n  - nsqrt {n + 1} }}{{{{left( {n + 1} right)}^2}n - {n^2}left( {n + 1} right)}})

(begin{array}{l} = dfrac{{left( {n + 1} right)sqrt n  - nsqrt {n + 1} }}{{nleft( {n + 1} right)left( {n + 1 - n} right)}} = dfrac{{left( {n + 1} right)sqrt n  - nsqrt {n + 1} }}{{nleft( {n + 1} right)}}\ = dfrac{1}{{sqrt n }} - dfrac{1}{{sqrt {n + 1} }}end{array})

Áp dụng công thức trên ta có:

(begin{array}{l}M = dfrac{1}{{2sqrt 1  + 1sqrt 2 }} + dfrac{1}{{3sqrt 2  + 2sqrt 3 }} + dfrac{1}{{4sqrt 3  + 3sqrt 4 }} + ...... + dfrac{1}{{25sqrt {24}  + 24sqrt {25} }}\,,,,,,,, = dfrac{1}{{sqrt 1 }} - dfrac{1}{{sqrt 2 }} + dfrac{1}{{sqrt 2 }} - dfrac{1}{{sqrt 3 }} + dfrac{1}{{sqrt 3 }} - dfrac{1}{{sqrt 4 }} + ... + dfrac{1}{{sqrt {24} }} - dfrac{1}{{sqrt {25} }}\,,,,,,, = 1 - dfrac{1}{5} = dfrac{4}{5}end{array})

Chọn C.