Tìm a để phương trình 2sin x - 1 cos x - a = 0 có đú

Lời giải của Luyện Tập 247

Phương pháp giải:

- Giải phương trình tích.

- Giải phương trình lượng giác cơ bản, tìm số nghiệm của phương trình trong khoảng (left( {0;pi } right)), sau đó biện luận số nghiệm của phương trình chứa tham số.

Giải chi tiết:

Ta có:

(begin{array}{l},,,,,,left( {2sin x - 1} right)left( {cos x - a} right) = 0\ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}2sin x - 1 = 0\cos x - a = 0end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}sin x = dfrac{1}{2}\cos x = aend{array} right.\ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = dfrac{pi }{6} + k2pi \x = dfrac{{5pi }}{6} + k2pi \cos x = a,,left( * right)end{array} right.end{array})

Họ nghiệm (x = dfrac{pi }{6} + k2pi ) có 1 nghiệm (x = dfrac{pi }{6} in left( {0;pi } right)).

Họ nghiệm (x = dfrac{{5pi }}{6} + k2pi ) có 1 nghiệm (x = dfrac{{5pi }}{6} in left( {0;pi } right)).

Do đó để phương trình ban đầu có đúng 2 nghiệm thuộc (left( {0;pi } right)) thì hoặc phương trình (*) vô nghiệm, hoặc phương trình (*) có nghiệm (x = dfrac{pi }{6}) hoặc (x = dfrac{{5pi }}{6}).

TH1: (*) vô nghiệm ( Rightarrow left[ begin{array}{l}a > 1\a <  - 1end{array} right.).

TH2: (*) có nghiệm (x = dfrac{pi }{6}).

( Rightarrow cos dfrac{pi }{6} - a = 0 Leftrightarrow a = dfrac{{sqrt 3 }}{2}).

Thử lại: Với (a = dfrac{{sqrt 3 }}{2} Rightarrow cos x = dfrac{{sqrt 3 }}{2} Leftrightarrow x =  pm dfrac{pi }{6} + k2pi ) có đúng 1 nghiệm (x = dfrac{pi }{6} in left( {0;pi } right)).

TH3: (*) có nghiệm (x = dfrac{{5pi }}{6}).

 ( Rightarrow cos dfrac{{5pi }}{6} - a = 0 Leftrightarrow a =  - dfrac{{sqrt 3 }}{2}).

Thử lại: Với (a =  - dfrac{{sqrt 3 }}{2} Rightarrow cos x =  - dfrac{{sqrt 3 }}{2} Leftrightarrow x =  pm dfrac{{5pi }}{6} + k2pi ) có đúng 1 nghiệm (x = dfrac{{5pi }}{6} in left( {0;pi } right)).

Vậy (a in left( { - infty ; - 1} right) cup left( {1; + infty } right) cup left{ { pm dfrac{{sqrt 3 }}{2}} right}).