Cho 2 số a và b thỏa mãn a + b2 = 1. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: 20112a^2 + 2b^2 + 2008 .

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

Vì  (frac{{a + b}}{2} = 1 Rightarrow a + b = 2 Rightarrow b = 2 - a).

Thay (b = 2 - a) vào biểu thức (2{a^2} + 2{b^2} + 2008) ta được:

(begin{array}{l}2{a^2} + 2{b^2} + 2008 = 2{a^2} + 2{(2 - a)^2} + 2008 = 2{a^2} + 2.(4 - 4a + {a^2}) + 2008 = 2{a^2} + 8 - 8a + 2{a^2} + 2008 = 4{a^2} - 8a + 2016 = 4{a^2} - 8a + 4 + 2012 = 4{(a - 1)^2} + 2012 ge 2012,,(do,,{(a - 1)^2} ge 0,,,forall a) Rightarrow frac{{2011}}{{2{a^2} + 2{b^2} + 2008}} le frac{{2011}}{{2012}},,(forall a)end{array})

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức (frac{{2011}}{{2{a^2} + 2{b^2} + 2008}}) là (frac{{2011}}{{2012}}).

Dấu “( = )”  xảy ra khi (a = b = 1).