Có bao nhiêu số tự nhiên có 2018 chữ số sao cho trong mỗi số tổng các chữ số bằng 5 ?

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

Vì (5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 2 + 2 + 1 = 3 + 1 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1) nên ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Số tự nhiên có một chữ số (5) đứng đầu và (2017) chữ số (0) đứng sau : Có (1) số.

Trường hợp 2: Số tự nhiên có một chữ số (4), một chữ số (1) và (2016) chữ số (0).

+) Khả năng 1: Nếu chữ số (4) đứng đầu thì chữ số (1) đứng ở một trong (2017) vị trí còn lại nên ta có  (C_{2017}^1) số.

+) Khả năng 2: Nếu chữ số (1) đứng đầu thì chữ số (4) đứng ở một trong (2017) vị trí còn lại nên ta có  (C_{2017}^1) số.

Trường hợp 3: Số tự nhiên có một chữ số (3), một chữ số (2) và (2016) chữ số (0)

+)  Khả năng 1: Nếu chữ  số (3) đứng đầu thì chữ số (2) đứng ở một trong (2017) vị trí còn lại nên ta có  (C_{2017}^1) số.

+)  Khả năng 2: Nếu chữ số (2) đứng đầu thì chữ số (3) đứng ở một trong (2017) vị trí còn lại nên ta có (C_{2017}^1) số.

Trường hợp 4: Số tự nhiên có hai chữ số (2), một chữ số (1) và (2015) chữ  số (0)

+) Khả năng 1: Nếu chữ số (2) đứng đầu thì chữ số (1) và chữ số (2) còn lại đứng ở hai trong (2017) vị trí còn lại nên ta có (A_{2017}^2) số.

+) Khả năng 2: Nếu chữ số (1) đứng đầu thì hai chữ số (2) đứng ở hai trong (2017) vị trí còn lại nên ta có (C_{2017}^2)số.

Trường hợp 5: Số tự nhiên có (2) chữ số (1), một chữ số (3) thì tương tự như trường hợp (4) ta có (A_{2017}^2 + C_{2017}^2) số.

Trường hợp 6: Số tự nhiên có một chữ số (2), ba chữ số (1) và (2014) chữ số (0).

+) Khả năng 1: Nếu chữ số (2) đứng đầu thì ba chữ số (1) đứng ở ba trong (2017) vị trí còn lại nên ta có (C_{2017}^3)số.

+) Khả năng 2: Nếu chữ số (1) đứng đầu và chữ số (2) đứng ở vị trí mà không có chữ số (1) nào khác đứng trước nó thì hai chữ số (1) còn lại đứng ở trong (2016) vị trí còn lại nên ta có (C_{2016}^2) số.

+) Khả năng 3: Nếu chữ số (1) đứng đầu và chữ số (2) đứng ở vị trí mà đứng trước nó có hai chữ số (1) thì hai chữ số (1) và chữ số (2) còn lại đứng ở trong (2016) vị trí còn lại nên ta có (A_{2016}^2) số.

Trường hợp 7: Số tự nhiên có năm chữ số (1) và (2013) chữ số (0), vì chữ số (1) đứng đầu nên bốn chữ số (1) còn lại đứng ở bốn trong (2017) vị trí còn lại nên ta có (C_{2017}^4) số.

Áp dụng quy tắc cộng ta có (1 + 4C_{2017}^1 + 2left( {C_{2017}^2 + A_{2017}^2} right) + left( {C_{2017}^3 + A_{2016}^2 + C_{2016}^2} right) + C_{2017}^4) số cần tìm.

Chọn D

( * ) Xem thêm: Ôn tập toán 11 cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.