Tính giá trị của biểu thức: P = C2017^0C2018^1 + C2017^1C2018^2 + ... + C2017^2016C2018^2017 + C2017

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

Ta có:

(begin{array}{l}P = C_{2017}^0C_{2018}^1 + C_{2017}^1C_{2018}^2 + ... + C_{2017}^{2016}C_{2018}^{2017} + C_{2017}^{2017}C_{2018}^{2018};;; = C_{2017}^0C_{2018}^{2017} + C_{2017}^1C_{2018}^{2016} + ... + C_{2017}^{2016}C_{2018}^1 + C_{2017}^{2017}C_{2018}^0.end{array})

Xét khai triển:

({left( {1 + x} right)^{2017}}{left( {1 + x} right)^{2018}} = left( {C_{2017}^0 + xC_{2017}^1 + ... + {x^{2016}}C_{2017}^{2016} + {x^{2017}}C_{2017}^{2017}} right)left( {C_{2018}^0 + xC_{2018}^1 + ... + {x^{2017}}C_{2018}^{2017} + {x^{2018}}C_{2018}^{2018}} right))

Hệ số của ({x^{2017}}) trong khai triển trên chính là: (P = C_{2017}^0C_{2018}^{2017} + C_{2017}^1C_{2018}^{2016} + ... + C_{2017}^{2016}C_{2018}^1 + C_{2017}^{2017}C_{2018}^0).

Mặt khác, ta cũng có: ({left( {1 + x} right)^{2017}}{left( {1 + x} right)^{2018}} = {left( {1 + x} right)^{4035}} = C_{4035}^0 + xC_{4035}^1 + ... + {x^{4034}}C_{4035}^{4034} + {x^{4035}}C_{4035}^{4035}) và trong khai triển này thì hệ số của ({x^{2017}}) là (C_{4035}^{2017}).

Do vậy ta có: (P = C_{4035}^{2017}.)

Chọn B

( * ) Xem thêm: Ôn tập toán 11 cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.