Giá trị của A = 11!2018! + 12!2017! + 13!2016! + ... + 11008!1011! + 11009!1010! bằng

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

Ta có (frac{1}{{k!left( {n - k} right)!}} = frac{{C_n^k}}{{n!}}).

Do đó:

(begin{array}{l}A = frac{1}{{1!.2018!}} + frac{1}{{2!.2017!}} + frac{1}{{3!.2016!}} + ....... + frac{1}{{1008!.1011!}} + frac{1}{{1009!.1010!}} = frac{{C_{2019}^1}}{{2019!}} + frac{{C_{2019}^2}}{{2019!}} + frac{{C_{2019}^3}}{{2019!}} + ... + frac{{C_{2019}^{1009}}}{{2019!}} = frac{{C_{2019}^1 + C_{2019}^2 + ... + C_{2019}^{1009}}}{{2019!}}end{array})

Ta áp dụng khai triển: ({left( {1 + 1} right)^{2019}} = {2^{2019}} = C_{2019}^0 + C_{2019}^1 + ...... + C_{2019}^{1009} + ...... + C_{2019}^{2019})

Có: (C_{2019}^0 = C_{2019}^{2019},;;C_{2019}^1 = C_{2019}^{2018},;;......,;C_{2019}^{1009} = C_{2019}^{1010})

(begin{array}{l} Rightarrow {2^{2019}} = 2left( {C_{2019}^0 + C_{2019}^1 + C_{2019}^2 + ... + C_{2019}^{1009}} right). Rightarrow A = frac{{C_{2019}^0 + C_{2019}^1 + C_{2019}^2 + ... + C_{2019}^{1009} - 1}}{{2019!}} = frac{{{2^{2018}} - 1}}{{2019!}}end{array})

Chọn C

( * ) Xem thêm: Ôn tập toán 11 cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.