Xác định hệ số của x^8 trong các khai triển sau:f(x) = (1 + x + 2x^2)^10

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

Ta có:

(begin{array}{l}f(x) = {left( {1 + x + 2{x^2}} right)^{10}} = sumlimits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{1^{10 - k}}.{{left( {x + 2{x^2}} right)}^k}}  = sumlimits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k.{{left( {x + 2{x^2}} right)}^k}} = sumlimits_{k = 0}^{10} {C_{10}^ksumlimits_{i = 0}^k {C_k^i{x^{k - i}}{{left( {2{x^2}} right)}^i}} }  = sumlimits_{k = 0}^{10} {sumlimits_{i = 0}^k {C_{10}^kC_k^i{{.2}^i}.{x^{k + i}}.} } end{array})

Để có hệ số ({x^8}) thì: (left{ begin{array}{l}k + i = 8 le i le k le 10i,;k in Zend{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}i = 0k = 8end{array} right.left{ begin{array}{l}i = 1k = 7end{array} right.left{ begin{array}{l}i = 2k = 6end{array} right.left{ begin{array}{l}i = 3k = 5end{array} right.left{ begin{array}{l}i = 4k = 4end{array} right.end{array} right..)  

Như vậy ta có hệ số của ({x^8}) trong khai triển là: (C_{10}^8.C_8^0{.2^0} + C_{10}^7.C_7^1{.2^1} + C_{10}^6.C_6^2{.2^2} + C_{10}^5.C_5^3{.2^3} + C_{10}^4.C_4^4{.2^4} = 37845.)

Chọn A

( * ) Xem thêm: Ôn tập toán 11 cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.