Cho khai triển ( 1 + 2x )^n = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n trong đó n in N^* và các hệ số thỏa mã

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

Số hạng tổng quát trong khai triển ({left( {1 + 2x} right)^n}) là (C_n^k{.2^k}.{x^k}), (0 le k le n), (k in mathbb{N}). Vậy hệ số của số hạng chứa ({x^k}) là (C_n^k{.2^k} Rightarrow {a_k} = C_n^k{.2^k}).

Khi đó, ta có

(begin{array}{l}{a_0} + frac{{{a_1}}}{2} + ... + frac{{{a_n}}}{{{2^n}}} = 4096 Leftrightarrow C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n = 4096,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Leftrightarrow {left( {1 + 1} right)^n} = 4096 Leftrightarrow n = 12end{array})

Dễ thấy ({a_0}) và ({a_n}) không phải hệ số lớn nhất. Giả sử ({a_k}) (left( {0 < k < n} right)) là hệ số lớn nhất trong các hệ số ({a_0},,,{a_1},,{a_2},,...,,{a_n}).

Khi đó ta có

(begin{array}{l}left{ begin{array}{l}{a_k} ge {a_{k + 1}}{a_k} ge {a_{k - 1}}end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}C_{12}^k{.2^k} ge C_{12}^{k + 1}{.2^{k + 1}}C_{12}^k{.2^k} ge C_{12}^{k - 1}{.2^{k - 1}}end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}frac{{12!}}{{k!.left( {12 - k} right)!}} ge frac{{12!.2}}{{left( {k + 1} right)!.left( {12 - k - 1} right)!}}frac{{12!}}{{k!.left( {12 - k} right)!}} ge frac{{12!}}{{left( {k - 1} right)!.left( {12 - k + 1} right)!}}.frac{1}{2}end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}frac{1}{{12 - k}} ge frac{2}{{k + 1}}frac{2}{k} ge frac{1}{{13 - k}}end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}k + 1 - 2left( {12 - k} right) ge 026 - 3k ge 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}k ge frac{{23}}{3}k le frac{{26}}{3}end{array} right. Leftrightarrow frac{{23}}{3} le k le frac{{26}}{3}end{array}) .

Do (k in N Rightarrow k = 8).

Vậy hệ số lớn nhất là ({a_8} = C_{12}^8{.2^8} = 126720).

Chọn B

( * ) Xem thêm: Ôn tập toán 11 cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.