Khai triển và rút gọn biểu thức 1 - x + 2(1 - x)^2 + ... + n(1 - x)^n thu được đa thức P(x) = a0 + a

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

Ta có:  (frac{1}{{C_n^2}} + frac{7}{{C_n^3}} = frac{1}{n} Leftrightarrow left{ begin{array}{l}n ge 3frac{1}{{frac{{n!}}{{2!left( {n - 2} right)!}}}} + frac{7}{{frac{{n!}}{{3!left( {n - 3} right)!}}}} = frac{1}{n}end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}n ge 3frac{2}{{n(n - 1)}} + frac{{7.3!}}{{n(n - 1)(n - 2)}} = frac{1}{n}end{array} right.)

( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}n ge 32left( {n - 2} right) + 42 = left( {n - 1} right)left( {n - 2} right)end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}n ge 3{n^2} - 3n + 2 = 2n + 38end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}n ge 3{n^2} - 5n - 36 = 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}n ge 3left[ begin{array}{l}n =  - 4n = 9end{array} right.end{array} right. Leftrightarrow n = 9.)

( Rightarrow P = 1 - x + 2{left( {1 - x} right)^2} + ...... + 9{left( {1 - x} right)^9} = {a_0} + {a_1} + ...... + {a_9}{x^9})  

Suy ra ({a_8}) là hệ số của ({x^8}) trong biểu thức (8{(1 - x)^8} + 9{(1 - x)^9}.)

(8{(1 - x)^8} + 9{(1 - x)^9} = 8sumlimits_{k = 0}^8 {left[ {C_8^k{{left( { - 1} right)}^{8 - k}}{x^{8 - k}}} right]}  + 9sumlimits_{n = 0}^9 {left[ {C_9^n{{left( { - 1} right)}^{9 - n}}{x^{9 - n}}} right]} )

( Rightarrow ) Số hạng chứa ({x^8}) thì  (left{ begin{array}{l}k = 0n = 1end{array} right.)

Vậy hệ số ({a_8} = 8C_8^0 + 9C_9^1{left( { - 1} right)^{9 - 1}} = 89) 

Chọn A.

( * ) Xem thêm: Ôn tập toán 11 cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.