Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 3.
Chứng minh rằng: + ≥
Giải chi tiết:
Áp dụng BDT Cosi cho 3 số dương , , ta được:
+
= - + +
≥
Ta có: x2y2z2(x + y)(y + z)(z + x) = xyz(zx + yz)(xy + zx)(yz + xy)
Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 3 số dương xy, yz, zx:
xy.yz.zx ≤ = 1 => x2y2z2 ≤ 1 => xyz ≤ 1 (1)
Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 3 số dương zx + yz, xy + zx, yz + xy:
(zx + yz)(xy + zx)(yz + xy) ≤ = 8 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: x2y2z2(x + y)(y + z)(z + x) ≤ 8
Vậy + ≥ ≥
( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.