Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab2 + bc2 + ca2 = 3
Chứng minh rằng:
+ + ≥ 15(a3 + b3 + c3 – 2)
Giải chi tiết:
Ta chứng mình bất đẳng thức
≥ 5a3 – 10ab2 + 10b3 với a, b > 0 (1)
Thật vậy (1) ⇔ 2a5 + 3b5 – ab(5a3 – 10ab2 + 10b3) ≥ 0
⇔ 2a5 – 5a4b + 10a2b3 – 10ab4 + 3b5 ≥ 0
⇔ (a – b)4 (2a + 3b) ≥ 0 (bất đẳng thức luôn đúng)
Tương tự ta cũng có
≥ 5b3 – 10bc2 + 10c3
≥ 5c3 – 10ca2 + 10a3
Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức trên ta được
+ +
≥ 15 (a3 + b3 + c3) – 10(ab2 + bc2 + ca2) = 15(a3 + b3 + c3 – 2)
( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.