Cho các số thực x, y ≥ 1 và 3(x + y) = 4xy
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x3 + y3 + 3.()
Lời giải chi tiết:
Đặt t = x + y (t ≥ 2)
=> xy =
Có: (x + y)2 ≥ 4xy. ∀x, y
t2 ≥ 4. t2 – 3t ≥ 0
t ≤ 0 hoặc t ≥ 3 t ≥ 3
Do x,y ≥ 1 (x – 1)(y – 1) ≥ 0
xy - (x + y) + 1 ≥ 0
- t + 1 ≥ 0
t ≤ 4
=> t ∈ [3; 4]
=> P =
=
=
=
= với t ∈ [3; 4]
Có f '(t) = > 0 ∀ t ∈ [3; 4]
Bảng biến thiên
=> Max f(t) = 94/4 khi t = 4
=> max P = 94/3 khi x = 1 và y = 3
( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.