Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x^3<

Lời giải của Luyện Tập 247

Lời giải chi tiết:

Từ giả thiết x³ + y³ + z³ = 2 + 3xyz

⇔ (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx) = 2

⇔ (x + y + z)[(x² + y² + z²) - (x + y + z)²] = 2.

Đặt t = x + y + z. Khi đó t>0 và x² + y² + z² = .

Xét hàm f(t) = trên (0; +∞).

Ta có f'(t) = t - , f'(t) = 0 ⇔ t = và f(t) = f(t) = +∞.

Do đó f(t) = f() = , đạt được khi t = .

Ta có P ≥ x² + y² + z² ≥ .

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = , y = z = 0.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là , đạt được khi x = , y = z = 0.

Nhận xét. Để chứng minh ≥ ta có thể áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương.

Thật vậy: = + + ≥ 3 = .

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi =  ⇔ t = .

( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.