Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1 mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của AB, G là trọng tâm tam giác SAB.

Tam giác SAB đều ( Rightarrow left{ begin{array}{l}SI bot ABSG = dfrac{2}{3}SI = dfrac{2}{3}.dfrac{{asqrt 3 }}{2} = dfrac{{asqrt 3 }}{3}end{array} right.)

Ta có:  (left{ begin{array}{l}left( {SAB} right) bot left( {ABC} right)left( {SAB} right) cap left( {ABC} right) = ABSI subset left( {SAB} right)SI bot ABend{array} right.,, Rightarrow SI bot left( {ABC} right))

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC. Dựng điểm O sao cho (left{ begin{array}{l}OH//SIGO//ICend{array} right.)

Khi đó, O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Ta có: SAB, ABC là hai tam giác đều có chung cạnh AB, I là trung điểm của AB ( Rightarrow SI = CI)

(IG = dfrac{1}{3}SI,,IH = dfrac{1}{3}IC Rightarrow IG = IH Rightarrow IGOH) là hình vuông ( Rightarrow OG = IG = dfrac{1}{3}SI = dfrac{1}{3}.dfrac{{asqrt 3 }}{2} = dfrac{{asqrt 3 }}{6})

Tam giác SGO vuông tại G ( Rightarrow SO = sqrt {S{G^2} + G{O^2}}  = sqrt {dfrac{{{a^2}}}{3} + dfrac{{{a^2}}}{{12}}}  = dfrac{{asqrt {15} }}{6} Rightarrow R = dfrac{{asqrt {15} }}{6})

Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho là: (V = dfrac{4}{3}pi {R^3} = dfrac{4}{3}pi {left( {dfrac{{asqrt {15} }}{6}} right)^3} = dfrac{{5{a^3}sqrt {15} }}{{54}})

Chọn: A

( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.