Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác với AB = 2cmAC = 3cm;angle BAC = 60^0SA bot ( ABC ). Gọi

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, đường kính AD.

Ta chứng minh O là tâm mặt cầu đi qua 6 điểm A, B, C, ({B_1},{C_1}) và D:

Ta có: (left{ begin{array}{l}CD bot ACCD bot SA,,left( {do,,SA bot left( {ABC} right)} right)end{array} right.,,, Rightarrow CD bot left( {SAC} right) Rightarrow CD bot A{C_1})

Do (left{ begin{array}{l}A{C_1} bot SCA{C_1} bot CDend{array} right. Rightarrow A{C_1} bot left( {SCD} right) Rightarrow A{C_1} bot {C_1}D)

( Rightarrow {C_1}) thuộc mặt cầu tâm O đường kính AD

Tương tự, ({B_1}) thuộc mặt cầu tâm O đường kính AD

Hiển nhiên, (A,;B,;D,;C) thuộc mặt cầu tâm O đường kính AD

( Rightarrow O)là tâm mặt cầu đi qua 6 điểm (A,;B,;C,;{B_1},;{C_1},;D)

( Rightarrow O)là tâm mặt cầu đi qua 5 điểm (A,;B,;C,;{B_1},;{C_1})

Tính bán kính R của mặt cầu đi qua 5 điểm (A,;B,;C,;{B_1},;{C_1}):

 Xét tam giác ABC: (BC = sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.cos angle A}  = sqrt {4 + 9 - 2.2.3.cos 60^circ }  = sqrt 7 left( {cm} right))

(begin{array}{l}{S_{ABC}} = frac{{AB.AC.BC}}{{4R}} = frac{1}{2}AB.AC.sin angle A Rightarrow frac{{2.3.sqrt 7 }}{{4R}} = frac{1}{2}.2.3.sin {60^0} Leftrightarrow frac{{3sqrt 7 }}{{2R}} = frac{{3sqrt 3 }}{2} Leftrightarrow R = frac{{sqrt 7 }}{{sqrt 3 }}left( {cm} right)end{array})

Thể tích khối cầu: (V = frac{4}{3}pi {R^3} = frac{4}{3}pi {left( {sqrt {frac{7}{3}} } right)^3} = frac{{28sqrt 7 pi }}{{9sqrt 3 }} = frac{{28sqrt {21} pi }}{{27}}left( {c{m^3}} right)).

Chọn A.

( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.