Giải các hệ phương trình sau: l2

Lời giải của Luyện Tập 247

Cách giải nhanh bài tập này

(left{ begin{array}{l}2{left( {1 + xsqrt y } right)^2} = 9ysqrt x 2{left( {1 + ysqrt x } right)^2} = 9xsqrt y end{array} right.)

ĐK: (x ge 0,,,y ge 0.)

Đặt (a = xsqrt y ,b = ysqrt x ), điều kiện (a ge 0,,,b ge 0.) 

Hệ (I) trở thành: (left{ begin{array}{l}2{left( {1 + a} right)^2} = 9b{rm{ }},,,left( 1 right)2{left( {1 + b} right)^2} = 9a{rm{ }},,,left( 2 right)end{array} right.)

Lấy (1) trừ (2) ta được:

(begin{array}{l}2{left( {1 + a} right)^2} - 2{left( {1 + b} right)^2} = 9left( {b - a} right) Leftrightarrow 2left( {a - b} right)left( {a + b + 2} right) + 9left( {a - b} right) = 0 Leftrightarrow left( {a - b} right)left( {2a + 2b + 13} right) = 0 Leftrightarrow a - b = 0,,,,left( {do,,,2a + 2b + 13 > 0,,,forall a,,,b ge 0} right) Leftrightarrow a = b.end{array})

Thay (a = b)  vào (1) ta có:

(2{left( {1 + a} right)^2} = 9a Leftrightarrow left[ begin{array}{l}a = 2 Rightarrow b = 2a = frac{1}{2} Rightarrow b = frac{1}{2}end{array} right.) (thỏa mãn điều kiện).

Khi (a = b = 2 Rightarrow left{ begin{array}{l}xsqrt y  = 2ysqrt x  = 2end{array} right. Leftrightarrow x = y = sqrt[3]{4})

Khi (a = b = frac{1}{2} Rightarrow left{ begin{array}{l}xsqrt y  = frac{1}{2}ysqrt x  = frac{1}{2}end{array} right. Leftrightarrow x = y = sqrt[3]{{frac{1}{4}}})

Vậy hệ phương trình có nghiệm (left( {sqrt[3]{4};sqrt[3]{4}} right),left( {sqrt[3]{{frac{1}{4}}};sqrt[3]{{frac{1}{4}}}} right)).