Tìm số tự nhiên n sao cho A = n6 – n4 + 2n3 + 2n2 là một số chính phương

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

Ta có : A = n²(n⁴ – n² +2n + 2)

- Với n = 0, ta có A = 0 là số chính phương

- Với n = 1, ta có A = 4 là số chính phương

- Với n = 2, ta có A = 72 không là số chính phương.

Xét n ≥ 3:

Vì a là số chính phương nên n⁴ – n² +2n + 2 là số chính phương.

Đặt n⁴ – n² +2n + 2 = a² (a ϵ N; a ≥ 2).

Ta có n² – 2n + 2 = n(n – 2) – 2 ≥ 3(3 – 2) - 2 > 0

Suy ra a² < n⁴ hay a < n²

Mặt khác: a² – (n² – 1)² = n² + 2n + 1 > 0

Suy ra a² > (n² – 1)² hay a > n² – 1.

Do đó, n² – 1 < a < n² . Điều này không xảy ra vì giữa hai số tự nhiên liên tiếp không còn số tự nhiên nào.

Kết luận : n ={0; 1}