Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ( 7 - 3 căn 5 )^x^2 + m( 7 + 3 căn 5 )^x^2

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

Ta có: (left( {7 + 3sqrt 5 } right)left( {7 - 3sqrt 5 } right) = 49 - 45 = 4) ( Rightarrow 7 + 3sqrt 5  = dfrac{4}{{7 - 3sqrt 5 }}.)

(begin{array}{l} Rightarrow ;{left( {7 - 3sqrt 5 } right)^{{x^2}}} + m{left( {7 + 3sqrt 5 } right)^{{x^2}}} = {2^{{x^2} - 1}} Leftrightarrow ;{left( {dfrac{4}{{7 + 3sqrt 5 }}} right)^{{x^2}}} + m{left( {7 + 3sqrt 5 } right)^{{x^2}}} = dfrac{1}{2}{.2^{{x^2}}} Leftrightarrow {2.2^{2{x^2}}} - {2^{{x^2}}}.{left( {7 + 3sqrt 5 } right)^2} + 2m{left( {7 + 3sqrt 5 } right)^{2{x^2}}} = 0; Leftrightarrow 2.{left( {dfrac{2}{{7 + 3sqrt 5 }}} right)^{2{x^2}}} - {left( {dfrac{2}{{7 + 3sqrt 5 }}} right)^{{x^2}}} + 2m = 0;;;left( * right)end{array})

Đặt ({left( {dfrac{2}{{7 + 3sqrt 5 }}} right)^{{x^2}}} = t; Rightarrow {x^2} = {log _{dfrac{2}{{7 + 3sqrt 5 }}}}t.)

Ta có: (0 < dfrac{2}{{7 + 3sqrt 5 }} 0 Leftrightarrow 0 < t < 1.)

( Rightarrow left( * right) Leftrightarrow 2{t^2} - t + 2m = 0;;left( 1 right))

Để phương trình (left( * right)) có 4 nghiệm phân biệt ( Leftrightarrow pt;left( 1 right)) có hai nghiệm phân biệt (t in left( {0;;1} right).)

( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta  > 0afleft( 0 right) > 0afleft( 1 right) > 0 <  - dfrac{b}{{2a}} 04m > 02left( {2m + 1} right) > 0 < dfrac{1}{2} < 1end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m 0m >  - dfrac{1}{2}end{array} right. Leftrightarrow 0 < m < dfrac{1}{{16}}.)

Chọn A.

( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.