Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 + 4√3x – 4 = 0. Cho điểm A(2√3 ; 0 ). Đường tròn ( C
Câu hỏi và phương pháp giải
Nhận biếtTrong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 + 4√3x – 4 = 0. Cho điểm A(2√3 ; 0 ). Đường tròn ( C’ ) di động nhưng luôn luôn qua điểm A và tiếp xúc với đường tròn ( C ). Chứng minh các tâm của các đường tròn ( C’ ) luôn luôn nằm trên một hypebol cố định. Viết phương trình hypebol đó.
Đáp án đúng: C
Lời giải của Luyện Tập 247
Giải chi tiết:
Đường tròn (C ): x2 + y2 + 4√3x – 4 = 0
⇔ ( x2 + 4√3x + 12) + y2 -16 = 0.
⇔ ( x+ 2√3)2 + y2 = 16
Do đó đường tròn ( C ) có tâm I(-2√3; 0) và bán kính đường tròn ( C ) là R = 4
Ta gọi I’(x0;y0),R’ là tâm và bán kính đường tròn (C’ )
=>(C’): (x – x0)2 + ( y – y0)2 = R’2
Do A(2√3; 0) ∈(C’)=> (2√3 - x0)2 + ( 0 – y0)2 = (R’)2 ( 1)
Ta có: ( C ) và (C’) tiếp xúc ngoài ⇔ II’2 = ( R + R’)2 ⇔ (x0 + 2√3 )2 + y02 = (4 + R’)2;
⇔ 16 + 8R’ + R’2 = x02 + 4√3x0 + 12 + y02 (2)
Thế R’2 = (2√3 - x0)2 + y02 vaò (2)
=>16 + 8R’ + (2√3 - x0)2 + y02 = x02 + 4√3x0 + 12 + y02
⇔ 16+ 8R’ + 12 - 4√3x0 + x02 = x02 + 4√3x0 + 12
⇔ 8R’ = 8√3x0 - 16 => R’ = √3x0 – 2 (3)
Thế lại (3) vào (1) ta được:
(2√3 - x0)2 + y02 = (√3x0 – 2)2 ⇔12 - 4√3x0 + x02 + y02 = x02 - 4√3x0 + 4
⇔ 2x02 - y02 = 8 ⇔ 
- 
= 1.
Vậy tọa độ (x0;y0) của I’ thỏa mãn (4) là phương trình của hypebol có độ dài trục thực là 4, trục ảo là 4√2 ( a =2; b =2√2), tiêu cự 2c = 4√3.
( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.