Các số thực x y thay đổi luôn thỏa mãn x + y = 1. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = (x3 +

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

Ta có: M = x³y³ + x³ +y³ + 1 = x³y³ + (x + y)(x² – xy + y²) + 1

= x³y³ + (x + y)[(x + y)² – 3xy] + 1.

Đặt xy = t, do (x + y)² ≥ 4xy => t ≤ . Đặt f(t) = t³ – 3t + 2, t ≤ .

Ta có: f’(t) =3t² – 3 = 0 t = -1 (do t ≤ ), f(-1) = 4 , Lập bảng biến thiên => max M = max f(t) = f(-1) = 4

=> x, y là hai nghiệm của phương trình: u² – u – 1 = 0.

Vậy max M = 4 khi và chỉ khi

hoặc

( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.