Cho a b c là các số dương thỏa mãn điều kiện: a + b + c + ab + bc + ca = 6. Chứng minh: <

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta có:

(a² + b²) + (b² + c²) + (c² + a²)  ≥ 2ab +  2bc + 2ca

=> 2(a² + b² + c² ) ≥ 2 (ab + bc + ca)    (1)

(a² + 1) + (b² + c²) + (c² + a²)  ≥ 2a + 2b + 2c

=> a² + b² + c² + 3 ≥ 2(a + b + c)            (2)

Cộng các vế của (1) và (2) ta có:

3 ( a² + b² + c² ) + 3 ≥  2 (ab + bc + ca + a + b + c)

=> 3( a² + b² + c² ) + 3 ≥ 12

=> a² + b² + c² ≥ 3.

Ta có:   ≥ 2(a² + b² + c²) 

   ≥ 2(a² + b² + c²) 

Vì  a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca  =>  ≥ a² + b² + c² ≥ 3 (đpcm).