Cho a b c là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 5( a + b + c) - 2 ab . Tìm giá trị nhỏ nhất
Câu hỏi và phương pháp giải
Nhận biếtCho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 5( a + b + c) - 2 ab .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a + b + c + 48 (
+ ![frac{1}{sqrt[3]{b+c}}](https://luyentap247.com/wp-content/uploads/2021/04/57034_394459_2.gif)
)
Đáp án đúng: B
Lời giải của Luyện Tập 247
Giải chi tiết:
Ta có a2 + b2 + c2 = 5(a + b + c) – 2ab ⇔ (a + b)2 + c2 = 5(a + b + c)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có
(a + b)2 + c2 ≥ 
(a + b + c)2 => (a + b + c)2 ≤ 5(a + b + c)
=> 0 < a + b + c ≤ 10
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta lại có
= 
; 
= .4 ≤ 
(
+ 4)
= 
=> ≥ 
= 
≤ .
= 
=> 
≥ 
=> P ≥ a = b +c + 48.12(
+ 
)
Áp dụng bất đẳng thức CauchySchwarz ta được
+ ≥ 
=> P ≥ a + b + c + 
Đặt t = a + b + c => t ∈ (0;10] => P ≥ t + 
. Xét hàm f(x) = t + trên (0;10]
Ta có f'(t) = 1 - 
= 
=> f'(t) ≤ 0 ∀t ∈ (0;10]
=> f'(t) nghịch biến trên (0;10] => f(t) ≥ f(10), ∀t ∈ (0;10] ; f(10) = 58 => P ≥ 58
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
⇔ 
Vậy minP = 58 đạt được khi
( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.