Cho a b là hai số dương thỏa mãn a + b ≥ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: <

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

+) Ta có

+) Ta luôn có bất đẳng thức: a³ + b³ ≥ (*), với mọi a, b > 0.

Thật vậy (*) a² – ab + b² ≥

4a² – 4ab + 4b² ≥ a² + 2ab + b² (a – b)² ≥ 0, (luôn đúng).

Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: ≥ ≥ .

+) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: ab ≤

-ab ≥ -

+) Do đó F ≥ + (a + b)²

^{= + ≥}

Dấu "=" xảy ra khi a = b =

+) Vậy giá trị nhỏ nhất của F bằng , đạt được khi a = b = .