Cho bất phương trình: 5√x + <

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

Điều kiện: x > 0

BPT ⇔ 5(√x + ) < 2( x + ) + m.

Đặt √x + = t

Để xét điều kiện cho t ta có:

√x + ≥ 2. = √2; dấu “=” xảy ra khi x = .Do đó t ≥ √2.

Ta lại có t² = (√x + )² = x + + 1 =>x + = t² -1.

a)Do đó BPT trở thành 5t < 2t² – 2 + 4 ⇔ 2t² – 5t + 2 > 0 ⇔

kết hợp với t ≥ √2 suy ra t > 2.

Quay lại ẩn số x ta cần giải bất phương trình:

√x + > 2 ⇔√x + - 2 > 0 ⇔ > 0

⇔ 2x – 4√x + 1 > 0 ⇔(√x - )( √x - ) > 0

⇔ ⇔ ⇔ x∈( 0 ; -√2) ∪( + √2;+ ∞).
b.Với cách đặt ẩn phụ như trên ta có BPT đã cho trở thành:

5t < 2t² – 2 + m hay –m< 2t² – 5t – 2 ( 2)

Tuy vậy ở đây ta chỉ xét: x ∈[ ;1 ] nên điều kiện cho t cần tìm lại bằng cách:

Xét f(x) = √x + , với ≤ x ≤ 1.

=>f’(x) > 0 ⇔ 1 > x > ; f’(x) < 0 ⇔ < x <

Ta có bảng biến thiên:

Theo kết quả xét hàm số như trong bảng biến thiên thì t ∈ [√2; ]; bài toán trở thành: Tìm các giá trị của m để: 2t² – 5t -2 > -m nghiệm đúng với mọi t ∈ [√2; ]

Điều kiện để phương trình : 2t² – 5t – 2 > -m nghiệm đúng với mọi t ∈ [√2; ] là ( 2t² – 5t – 2 ) > -m.

Xét g(t) = ( 2t² – 5t – 2); t ∈ [√2; ] =>g’(t) = 4t – 5 => g’(t) = 0 khi t =

Ta có bảng biến thiên :

Từ bảng biến thiên ta có:

2t² – 5t – 2 > - m ⇔ -m 5√2 – 2.

Với m > 5√2 – 2 thì 5√x + < 2x + + m đúng với mọi x ∈ [ ; 1]

( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.