Cho các số thực dương a b c thỏa mãn ab2 + bc2 + ca2 = 3 Chứng minh rằng: <

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

Ta chứng mình bất đẳng thức

≥ 5a³ – 10ab² + 10b³ với a, b > 0 (1)

Thật vậy (1) ⇔ 2a⁵ + 3b⁵ – ab(5a³ – 10ab² + 10b³) ≥ 0

⇔ 2a⁵ – 5a⁴b + 10a²b³ – 10ab⁴ + 3b⁵ ≥ 0

⇔ (a – b)⁴ (2a + 3b) ≥ 0 (bất đẳng thức luôn đúng)

Tương tự ta cũng có

≥ 5b³ – 10bc² + 10c³

≥ 5c³ – 10ca² + 10a³

Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức trên ta được

+ +

≥ 15 (a³ + b³ + c³) – 10(ab² + bc² + ca²) = 15(a³ + b³ + c³ – 2)

( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.