Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện |a-b|+|b-c|+|

Lời giải của Luyện Tập 247

Lời giải chi tiết:

Không mất tính tổng quát, giả sử a≥ b≥ c>0. Khi đó, từ giả thiết ta có

1=a-b+b-c+a-c+3 = 2a-2c+3 ≥ a+b-2c+3c = a+b+c.

Khi đó ta có

a +b+ c = + + 

                                     ≤ ab+bc+ca ≤ ≤

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=.

Nhận xét: Chúng ta có thể giải theo cách khác như sau:

Không mất tính tổng quát, giả sử a≥b≥c>0. Khi đó, từ giả thiết ta có

1=a-b+b-c+a-c+3.= 2a-2c+.

Ta chứng minh

a+b+c ≤          (*)

Thật vậy bất đẳng thức (*) tương đương với.

3a+3b+3c ≤ = 4a²+ 4a. +.

Áp dụng bất đẳng thức Côsi và giả thiết a ≥ b ≥ c>0 ta có

= 4a² +4a.  ≥2 = 8a.

                              ≥ 8a = 8a ≥ 3a+3b+2c

và  =  ≥ 8a = c

Cộng hai bất đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=

( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.