Cho các số thực dương a,b,c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu t

Lời giải của Luyện Tập 247

Lời giải chi tiết:

Ta có P = + + .

Đặt x = , y = , z = .

Khi đó x,y,z dương thỏa mãn xyz = 1 và

P = + + .

Ta chứng minh + ≥     (*)

Thật vậy bất đẳng thức (*) ⇔ xy(x - y)² + (1 - xy)² ≥ 0, luôn đúng.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ⇔ x = y = 1

Áp dụng (*) và sử dụng xyz = 1 ta có

P ≥ + = + .

Xét hàm f(z) = + trên (0;+∞)

Ta có f'(z) = - = ; f'(z) = 0 ⇔ z = 1

Từ bảng biến thiên

ta suy ra P ≥ , dấu đẳng thức xảy ra khi

⇔ x = y = z = 1 hay a = b = c

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là , đạt khi a = b = c.

( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.